OpenCV 笔记(23)：图像的缩放——图像的缩放——立方插值

作者: fengzhizi715 | 来源:发表于2024-02-22 10:39 被阅读0次

1. 立方插值

立方插值算法也被称为双三次、双立方插值算法。

1.1 三次插值 (Cubic Interpolation)

先介绍一下三次插值算法，它是一种使用三次多项式拟合一组数据的插值方法。三次插值通常用于图像缩放和重采样。

三次插值的实现方式有很多种，例如牛顿多项式插值、拉格朗日多项式插值、Hermite 三次多项式插值、三次样条插值，每种方式都有其自身的优点和复杂性。

插值多项式的形式

牛顿多项式插值: 使用差商形式来构造插值多项式。
拉格朗日多项式插值: 使用乘积形式来构造插值多项式。
Hermite 三次多项式插值: 使用分段三次多项式来构造插值多项式，每个分段多项式满足插值点处的函数值和一阶导数值。
三次样条插值: 也使用分段三次多项式来表示插值多项式，将插值区间划分为多个子区间，在每个子区间上使用三次多项式插值，并要求相邻子区间插值函数在连接处的一阶导数和二阶导数连续。

适用范围

牛顿多项式插值: 适用于数据量较小、插值精度要求不高的场景，如数据拟合、数值计算等。
拉格朗日多项式插值: 适用于理论分析、教学演示等场景。
Hermite 三次多项式插值: 适用于需要高精度插值和光滑曲线的场景，如计算机图形学、曲线拟合等。
三次样条插值: 适用于数据量较大、要求插值精度和曲线光滑的场景，如图像处理、工程设计等。

1.2 三次样条插值 (Cubic Spline Interpolation)

我们以三次样条插值为例进行详细说明。

在数值分析这个数学分支中，样条插值是使用一种名为样条的特殊分段多项式进行插值的形式。由于样条插值可以使用低阶多项式样条实现较小的插值误差，这样就避免了使用高阶多项式所出现的龙格现象，所以样条插值得到了流行。

三次样条函数的定义：

函数 $S(x)\in C^2[a, b]$ ，且在每个小区间 [ $x_i$ ， $x_{i+1}$ ] 上是三次多项式，其中 a= $x_0$ < $x_1$ < . . . < $x_n$ = b是给定节点，则称 S(x) 是节点 $x_0$ , $x_1$ , . . . , $x_n$ 上的三次样条函数。

三次样条函数满足：

在每个分段小区间 [ $x_i$ , $x_{i+1}$ ] 上， $S(x) = S_i(x)$ ，且是一个三次方程
满足插值条件， $S(x_i) = y_i$ (i=0,1,...,n)
S(x) 曲线是光滑的，S(x)、S'(x)、S''(x) 在[a,b] 是连续的

三次样条函数.png

要求出 S(x)，在每个小区间 [ $x_i$ , $x_{i+1}$ ] 上要确定 4 个待定系数，共有 n 个区间，共 4n 个参数要构建 4n 个方程。

根据插值条件，在节点 $x_i$ (i=1,2,...n-1) 处满足：

$S_i(x_{i+1}) = y_{i+1}$

$S_{i+1}(x_{i+1}) = y_{i+1}$

以及第一个和最后一个端点分别满足三次方程，总共 2n 个方程

根据 S(x) 在 [a,b] 上一阶导和二阶导数连续，在节点 $x_i$ (i=1,2,...n-1) 处满足连续条件：

n-1 个内部点的一阶导数应该是连续的，即在第 i 区间的末点和第 i+1 区间的起点是同一个点，它们的一阶导数也相等，即： $S'_i(x_{i+1}) = S'_{i+1}(x_{i+1})$

同理： $S_i''(x_{i+1}) = S_{i+1}''(x_{i+1})$

总共 2n-2 个方程。

加起来一共 4n-2 个方程，还需再加上 2 个方程就可以确定 S(x)。通常可在区间 [a,b] 端点 a = $x_0$ , b = $x_n$ 处各加一个条件（称为边界条件），可根据实际问题的要求给定。常见有以下三种：

固定边界(Clamped)：已知两端的一阶导数值 A 和 B

$S_0'(x_0)=A$

$S_{n-1}'(x_n)=B$

自然边界(Natural)：已知两端的二阶导数为 0

$S''(x_0)=S''(x_n)=0$

非扭结边界(Not-A-Knot): 强制第一个插值点的三阶导数值等于第二个点的三阶导数值，最后第一个点的三阶导数值等于倒数第二个点的三阶导数值。

$S_0'''(x_0)=S_1'''(x_1)$

$S_{n-2}'''(x_{n-1})=S_{n-1}'''(x_n)$

1.3 双三次样条插值 (Bicubic Spline Interpolation)

双三次样条插值是在二维空间中使用三次样条函数对图像进行插值。它将图像划分为一个网格，并在每个网格点处使用一个三次样条函数来拟合图像数据。在未知点处，通过对相邻网格点的三次样条函数进行插值来获得插值值。

各种插值函数的对比.png

构造 Bicubic 函数：

$W(x) = \begin{cases} (a+2)|x|^3-(a+3)|x|^2+1 & \text{for |x|} \le 1\\ a|x|^3-5a|x|^2+8a|x|-4a & \text{for 1 <|x|<2}\\ 0 & \text{otherwise} \end{cases}$

对待插值的像素点(x,y)，取其附近的 4*4 邻域点( $x_i$ , $y_i$ ) (i,j=0,1,2,3)。其插值公式如下：

$f(x,y)=\sum_{i=0}^{3}\sum_{j=0}^{3}f(x_i,y_j)W(x-x_i)W(y-y_j)$

2. Lanczos 插值 (Lanczos Interpolation)

Lanczos 插值使用 Lanczos 核函数来计算插值后的像素值。Lanczos 核函数是一种低通滤波器，可以消除缩放过程中产生的混叠现象。

Lanczos 核函数定义如下：

$L(x) = \begin{cases} sinc(x)sinc(x/a), & \text{if } -a < x < a, \\ 0, & otherwise. \end{cases}$

其中，sinc(x) = sin(πx) / (πx)，a 是核函数的宽度。

Lanczos 插值的过程如下：

确定插值点的位置。
以插值点为中心，在原图像中取一个窗口。
对窗口中的每个像素，使用 Lanczos 核函数计算其权重。
将窗口中所有像素的权重和插值值相乘，得到插值点的最终值。

Lanczos 插值公式：

$S(x) = \sum_{i=\lfloor x \rfloor-a+1}^{\lfloor x \rfloor+a} s_iL(x-i)$

Lanczos 插值的优点

与其他插值方法相比，Lanczos 插值可以产生更清晰、更平滑的图像。
Lanczos 插值可以有效地抑制混叠现象，尤其是在图像缩小的情况下。

Lanczos 插值的缺点

与其他的插值方法相比，Lanczos 插值的计算量更大。
Lanczos 插值可能会产生轻微的振铃效应，尤其是在图像放大边缘处。

3. OpenCV 中的 resize() 函数使用示例

OpenCV 封装好了很多图像缩放方法的算法。在 OpenCV C++ 中的 resize() 函数用于调整图像大小，它可以根据指定的尺寸和插值方法对图像进行缩放。

void resize( InputArray src, OutputArray dst,
                          Size dsize, double fx = 0, double fy = 0,
                          int interpolation = INTER_LINEAR );

第四个参数 fx: 缩放比例，沿 x 轴的缩放因子。
第五个参数 fx: 缩放比例，沿 y 轴的缩放因子。
第六个参数 interpolation: 插值方法，常用的插值方法包括：

INTER_NEAREST: 最近邻插值
INTER_LINEAR: 双线性插值
INTER_CUBIC: 4*4 邻域双三次样条插值
INTER_AREA: 区域插值
INTER_LANCZOS4: 8*8 邻域 Lanczos 插值

下面的例子使用四种插值方法分别对图像进行缩放：

#include <chrono>
#include <opencv2/opencv.hpp>
#define  millisecond 1000000
#define DEBUG_PRINT(...)  printf( __VA_ARGS__); printf("\n")
#define DEBUG_TIME(time_) auto time_ =std::chrono::high_resolution_clock::now()
#define RUN_TIME(time_)  (double)(time_).count()/millisecond

using namespace std;
using namespace cv;

int main() {
    Mat src = imread(".../grass.jpg");
    imshow("src", src);

    Mat nearest,linear,cubic,lanczos;
    double scale = 1.5;
    DEBUG_PRINT("image size[%d,%d],scale=%3.1f", src.rows,src.cols, scale);

    DEBUG_TIME(T0);
    cv::resize(src, nearest, Size(), scale, scale, cv::INTER_NEAREST);//最近邻插值
    DEBUG_TIME(T1);

    cv::resize(src, linear, Size(), scale, scale, cv::INTER_LINEAR); //双线性插值（默认）
    DEBUG_TIME(T2);

    cv::resize(src, cubic, cv::Size(), scale, scale, cv::INTER_CUBIC); //双三次样条插值
    DEBUG_TIME(T3);

    cv::resize(src, lanczos, cv::Size(), scale, scale, cv::INTER_LANCZOS4); //Lanczos 插值
    DEBUG_TIME(T4);

    DEBUG_PRINT("INTER_NEAREST :%3.3fms", RUN_TIME(T1 - T0));
    DEBUG_PRINT("INTER_LINEAR  :%3.3fms", RUN_TIME(T2 - T1));
    DEBUG_PRINT("INTER_CUBIC   :%3.3fms", RUN_TIME(T3 - T2));
    DEBUG_PRINT("INTER_LANCZOS4:%3.3fms", RUN_TIME(T4 - T3));

    imshow("nearest",nearest);
    imshow("linear",linear);
    imshow("cubic",cubic);
    imshow("lanczos",lanczos);

    waitKey(0);
    return 0;
}

执行结果：

image size[427,640],scale=1.5
INTER_NEAREST :0.567ms
INTER_LINEAR  :0.582ms
INTER_CUBIC   :1.433ms
INTER_LANCZOS4:2.002ms

原图和最近邻插值.png

原图和双线性插值.png

原图和双三次样条插值.png

原图和Lanczos插值.png

4. 总结

三次样条插值、双三次样条插值和 Lanczos 插值都是常用的图像缩放插值方法。

三次样条插值是一种分段插值方法，在每个分段内使用三次多项式进行插值。它具有较高的插值精度，但计算量较大。双三次样条插值是三次样条插值的二维扩展，在两个方向上都使用三次样条进行插值，它具有更高的插值精度和计算量。Lanczos 插值是一种基于 Lanczos 滤波器的插值方法，它使用 Lanczos 滤波器对图像进行卷积，从而获得更平滑、更清晰的插值结果。

三种方法各有优缺点，选择哪种方法取决于实际应用场景和需求。

OpenCV 笔记(23)：图像的缩放——图像的缩放——立方插值

1. 立方插值

1.1 三次插值 (Cubic Interpolation)

1.2 三次样条插值 (Cubic Spline Interpolation)

1.3 双三次样条插值 (Bicubic Spline Interpolation)

2. Lanczos 插值 (Lanczos Interpolation)

3. OpenCV 中的 resize() 函数使用示例

4. 总结

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