2019-08-23 《高观点下的数学》by F·克莱因
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德国数学家F·克莱因，热诚投身于数学教育改革，此书是其助手根据他在哥廷根大学讲课内容整理而来。上卷是算术、代数与分析，中卷为几何，下卷则是精确数学与近似数学。

• 关于老师：克莱因认为老师应该有远高于所教内容的知识水平，从更高的数学观点去教授知识，事物才显得更加明了、简单；
• 关于教育过程：应从简单到复杂，从感性到理性，是与人类对数学认知的历史类似的。并且不能按照公理体系教学，不符合认知规律（PS：很有趣的观点，与高尔斯的剑桥通识系列《数学》很不相符，在那本书中似乎认为数学应从公理和基础基石逐渐上升）

第一部分 算术

第一章 自然数的运算

1.1 自然数的运算

• 整数运算在早期（小学一年级至10岁）应用直观和生成来教学，把数建立熟悉、具体的事物上，应该与生活应用结合，而不必过多考虑逻辑关系（在渡过早期后才进入抽象的符号）。此阶段大致划分为：
  • 第一阶段：小学一年级前半年学1..10，全年学完整数1..20。用点或熟悉的地方排列，完成加法与乘法，使其牢记；
  • 第二阶段：引入阿拉伯数字，学会1..100，背乘法口诀表；
  • 第三阶段：一位数以上的乘法，需要用权威口吻灌输，要求牢记；

1.2 运算的基本规律

• 加法五个定律：a+b依然是一个数（在教学范围内）；是单值；符合结合律、交换律、单调性；
• 乘法六个定律：a*b依然是一个数；是单值；符合结合律、交换律、单调性；此外还有分配律；
• 一般的整数运算就是结合加法、乘法口诀表，反复运用以上11个基本法则，需要老师去选择好的例子；（如多位数乘法可以理解为分配律）
• 在学生对数的运算已有了解，准备过渡到字母符合运算时，应该借机叙述一下这11个基本法则，并配上实例来理解；

（2019-08-23）

1.3 整数运算的逻辑

究竟应该怎样去解释数的概念，以及如何认证基本法则？

• 康德为代表的观点：运算法则是知觉的直接而必然的结果。在数量小时依靠直觉，数量多时依据数学归纳法。由于整个数学都是建立在这11个基本运算上的，因此根据这类观点整个数学的可靠性是建立在“直觉”上的（这并不是一个武断的说法，但直觉应以最广义的角度来解释）
• 第二种观点：建立在第一种观点下，一样认可知觉论，但是抽取11个基本运算中更小的分解步骤作为基础，其它使用逻辑推出（把直觉的11个基本运算往前推，推成更直观的直觉作为基础），如皮诺亚用符号定义，来排除语言和知觉对数学的掺杂。（个人认为与第一种观点相似，只是把公理建立得更小了）
• 第二种观点的进一步展开：用点集理论解释算术基础规则，概括来说就是：整数及其运算的性质要从点集的一般性质及抽象关系推出，以使算术的基础尽可能完整可靠并带有普遍意义。
• 数的纯形式的理论：希尔伯特曾说，不去考虑字母a,b,c...的具体意义是什么，直接使用它们进行11个基本规则运算。会不会出现错误呢？只要使用这11个运算的过程中，从逻辑上证明不会出现潜在矛盾即可。拥护形式立场的一派认为：数学的可靠性在于它能证明，从形式上考虑的，不考虑直觉内容的基本法则是一个逻辑上一致的系统。

作者认为：

• 把直觉完全挤出，追求纯逻辑研究不是不行，但应保留一点直觉。即使逻辑自洽，也无法用纯逻辑证明这样的法则，对于我们直觉上熟悉的数量是真正成立的，此外这些与真正的数必然是有区别的，无法证明是等同的。
• 将算术基础看成是两部分：纯逻辑与认识论，那么在纯逻辑上我们有一些进展，在认识论上则没有进展。但即使是纯逻辑派，为了自圆其说也不得不将算术基础问题的认识论部分，看成是应用数学的领地。
• 许多人认为教学可以从有限公理，基于逻辑推出一切。但这不符合数学历史的发展，数学的发展像树，根部越扎越深的同时，以相同速度将枝条往上长。应该要明白，根据历史发展经验，数学研究不存在最终的终点与最初的起点（最一般性的东西），来为教学提供支持。
• 小学生学习运算规则，不仅是理解它们还应该懂得如何应用于生活，教学永远应该是这样。当然逻辑关系作为数学的硬骨架也应保持，以提高数学的可信性。但数学的生命，其最重要的动力（在各方面的作用）却完全依赖于应用。在应用拒于数学之外，就等于从骨架中寻找活力，而不考虑肌肉、神经与组织，不考虑动物的本能，不考虑生命本身！
• 老师应该当多面手，从纯科学到应用科学都有大致的了解，以便对科学分工太细采取一个理想的补救方法。

第二章 数的概念的第一次扩张

2.1 负数

• 建立负数的原因：要求在一切情况下都有可能进行减法运算，包含a<b时的a-b。
• 在中学里负数概念的引入，在原则上是极为困难的，因为学生已经习惯于用直观的事物数量理解数，而负数与这套观念没有共通之处。这是具体数学向形式数学的第一次转折，需要一定抽象能力。
• 引入负数后的加减法，依然满足五个基本法则：运算恒可进行、单值、结合律、交换律、单调性定律。此时小于号要理解为数轴的左右了。
• 对于乘法需要注意的是运算过程中的符号规则：乘积的绝对值等于各因子绝对值的积，结果的正负号由负因子的奇偶个数而定。
• 乘法六个基本法则：运算恒可进行、单值、结合律、交换律、分配律，第六项的单调性要更改为：若a>b，则随着c>0或c<0，有ac>bc或ac<bc
• 从纯形式考虑这些法则的相容比较难，但可以作约定即上述法则对于整数成立，则对于负数也成立。
• 历史的发展：负数不是由某个人想到的，而是数学家不得不用到它，在19世纪才考虑到其逻辑相容性。负号是由印度人发明的，欧洲在文艺复兴时期开始使用，并在16、17世纪得到公认。
• 把减法用于括弧的规则：用数轴理解c-(a-b)为减去a这一段再放回b的长度即c-a+b；(a-b)(c-d)理解为矩形面积计算即ac-bc-ad+bd。（前提是此处的a>b且c>d，才能以图像证明）
• 事物的发展可能比人更有理，如负数与其运算并非由某一个人自觉思考得出的，而是缓慢、有机的与事物广泛打交道得出的，好像是字母记号运算把负数教给了人，很久以后人们才通过理性归纳出其相容性。对新概念的建立，纯逻辑只能起到规定作用，不能起唯一指导作用。
• 证明如果是虚假的（如上述减法用于括弧的规则，不能用于负数），会使学生听不懂从而只好强迫相信，并以为整个概论是神秘不可理解的。这样的教法是值得批判的，把一些根据心理学考虑的承袭性原则让位于伪逻辑。如果有可能的话，要让学生自己搞清楚，或者用简单的例子让学生相信。

2.2 分数

分数同整数一样是直观对照的，分数之间的大小关系也与直觉建立连接。这些分数概念与负数结合，就得到了整个有理数整体。对其运算规则和有理数的概念，这个过程在中学结束前需要花较长时间来完成。以下提及两种观念：

• 韦伯-韦尔斯坦因：比较重形式观点，认为分数是一个记号。当ad=bc时分数a/b=c/d，大于小于号也有类似的定义。a/b+c/d=(ad+bc)/bd等等。用以上性质可以满足整数的11个加减乘基础法则。
• 伯克哈特：把分数看作整数域内的两个运算的序列——乘以a及除以b，运算的对象依然是任何整数（PS：但这样怎么推展到有理数呢？）因此乘法依然是有效的，但加减就难了，伯式将a/b+c/d=(ad+bc)/bd也制定为一项约定，并且似然成立（PS：我个人不喜欢这一种）

（2019-08-24）

2.3 无理数

这里不讨论中学情况了，因为在中学无理数仅提及一些简单的例子。从数学历史上看，无理数来源于几何上的直觉。

• 古希腊时期：如毕拉哥拉斯派发现腰长为1的等腰直角三角形，其斜边为sqrt(2)。还有一些更复杂的无理数，如欧几里德的sqrt(sqrt(a)+sqrt(b))，但一般此类复杂度来源于反复开方，因而可以用尺规作图得出。此时还没有无理数的一般概念。顺带一提的是，无理数irrational来源于希腊语，意思是不可比的，而没有“无理”的意思。
• 无理数的一般概念：17世纪提出，是引入十进制小数的结果。因为人们发现有理数换为十进制小数总是有限，或无限循环的。那些无限不循环的小数凭直觉也是存在的，因为非有理数，其为无理数的概念的建立。出于计算的需求，它同负数一样是自然产生的，是考虑十进制小数的结果。
• 19世纪60年代：康托、戴德金互相独立的为此奠定了一般基础，建立起一个较为精确的算术方式的表述。
  • 戴德金：为了纯算术定义，建立了“分割”的概念——有理数r将有理数分为小与大两部分的正常分割，还有一类非正常分割使得大组只能大于分割点的近似值，小值只能小于分割点的近似组，即没有上下界可循，易证得只有循环小数才有正常分割——根据此定义两个数若在有理数域内有相同分割则它们是相等的，因此1/3=0.333333……
  • 魏尔斯特拉斯：若大数减小数的差可小于任意给定常数，则两数相等。（PS：同戴德金相似，但我觉得表达更合适一点？）
• 为什么无理数可以四则运算？：可以把给定无理数放在两个越来越近的有理数之间，然后用此界限进行四则运算，由于单调性定律，因此结果也会在对应界限内成立。（PS：我觉得有点奇怪，有没可能在运算后因为它是无理数，这个值就溢出有理数界限了呢？）
• 数轴上每一个点可用有理数或无理数表达，这是基于心理的，因此不能论证只能作为公理。

空间观念

• 两种起源：一、对空间观念的直觉，通过量度直接意识到；二、主观的理想化的直觉，超越了感官观察的不精确性。
• 数的观念的类比：如同对于2、5、7这样的小数我们有直觉的感受，但对于2503这样的数字则没有，直接的直觉被一种有序列的主观直觉代替了，是我们通过数学归纳从最初的几个数字推导出来的。
• 第一类：精确性有限制的空间观念。我们只能通过有限精度来估算两点的距离（直觉域），即使使用高精度的机器来测量依然存在此类误差，有着物理上难以逾越的精度决阈值，比如光学衍射。
• 第二类：抽象或概念化的空间观念，有着不受限制的精确性。
• 对这样的区别，数学上分为了两部分，近似数学与精确数学。对近似数学求f(x)=0并不关心是否真的在0上，而关心|f(x)|恒在可达到的精确性阈值下，即|f(x)|<e的缩写。而在精确数学上，我们真的关心使f(x)=0的点。因此无理数必然是属于精确数学。

总结：无理数的精确理论难以激起大部分学生的兴趣，也超过他们的接受能力。一般来说，学生对有限精确性的结果已感到满足。因此对于普通学生只需要通过例子，一般的明白无理数即可。对个别感兴趣的学生提供完整的解释，并做到不要牺牲大多数人的兴趣，就是值得赞扬的教学方式了。
（2019-08-25）

第三章 关于整数的特殊性质

本章列举了下述问题，并挑选解答

• 一个数能否被另一个数整除、简单判定能否用较小的数（2\3\4\5）来整除任意数、用素因数分解来理解整数性质
• 是否有无穷多素数：欧几里德提供过一具证明，即所有素数相乘加一，必然是素数
• 有理数的十进程小数是必然循环的：使用费马小定理a^(p-1) mod p = 1来证明
• 连分数：逐个分解，先将数分为n0+r0(0<=r0<1)，再将1/r0 = n1+r1(0<=r1<1)，直到ri=0结束。可以用来无限逼近无理数（原点到无理数所在点的连线，可用连分数不断逼近，奇序收敛子在右侧，偶序收敛子在左侧，左右挪动并不断收敛在指定函数上）
• 费马大定理：a^n+bn=c^{n在n>2时不存在整数解，转为a}n+b^n=1，这样的函数可以画在二维坐标轴上，证明其除去+-1与0，不存在有理数解。