数字的魔力

告诉孩子：数是如何产生的

我们先来思考一个问题：人类是先认识了“有”，还是先认识了“无”？换句哲学一点的话语来问的话，就是人是先认识存在的，还是先认识不存在的？这个问题貌似与数学没有什么关系，但事实绝非如此，因为我们只有搞清楚了这个问题，才能知道数是怎么来的，是先有了1，还是先有了0。

这个问题还真不太好回答，人类一直在思考一个问题，即什么是存在。从我们一般的经验来讲，人们肯定是先认识有的。因为“无”，不存在，在思维中没法下口，想咬也咬不到。所以，我们不妨假定，人是从认识“有”来开始认识这个世界的。我们先把对这一终极问题答案正确与否的争论放到一边，就把“有”作为我们接下来要谈论的问题的逻辑起点。

人对于“有”，一般而言会产生满足感，或者说“有”可以给人带来愉悦。你要不相信，我们可以来做一个游戏。当然，游戏的对象必须是一个心智还未完全发展的小孩子。

大人经常给婴儿所做的一个游戏就是，在一只手里藏着一样东西，随便是什么东西，这不重要；然后不断地依次张开手给小孩子看，小孩子的反应是什么呢？一般情况是，孩子最初是用非常无辜的眼神看着父母或其他大人不断的展示有或无，经过几次之后，大部分孩子见到“有”时会咯咯地笑出声来，但看到“无”时却会噘起小嘴哭出声来。这似乎说明一个问题，与无相比，人更喜欢有。

原因是什么呢？如果我们从语义的角度分析，“无”是对“有”的否定，也就是“非有”。通常人们对否定的东西是不怀好感的，这似乎就可以解释小孩子的上述反应了。

如果我们认可上述的分析，那么，我们几乎可以肯定的说，0一定是出现在1之后的，因为这根本上是对包括1在内的所有“有”的否定。

但是，很多的哲学家或者神学家或者理论物理学家对于这个问题似乎有不同的解释，因为他们大部分人认为“有”是从“无”中产生的，当然这是一个关于宇宙起源和本质的问题，我们没有可以实验验证的结论，所以谁对谁错我们不去管他。

对数的感觉，或者说“数感”（这是一个非常正式的数学史概念）是天生就有的，或者说是基于遗传的。因为“数感”这种东西不仅在人的身上可以观察到，在动物的身上也可以看到。

有一个这样的故事，有个地主家的房子里有一个乌鸦巢——乌鸦这种东西，无论是在东方还是在西方，很少人对它有好感的，何况他还把家安在了人的家里，所以地主就想除掉它。最初的办法是把鸟巢给毁了，把乌鸦赶走，但这招不管用。乌鸦很执着，毁了再建，建了再毁，毁也再建，反正就是不走。地主实在没办法，只好打算对乌鸦肉体消灭，以绝后患。于是他带了几个人去那个房子里，想抓住这只乌鸦。乌鸦是很聪明的，它一见人来就飞走了，站在外面的一棵树上观察。几次三番，地主也没有得逞。但人毕竟是人，他还是想了个办法。他带一个人去，进了房子后，其中一个从门口出去，留下一个守株待兔。但乌鸦并没有上当，直到它看到第二个人出去之后，它才飞回来。地主很好奇，他又带了两个人去，然后其中两个人离开，留下一个；又带了三个人去，又带了四个去，直到他带了五个人去的时候，乌鸦才没有分清楚走出房子的到底是4个人还是5个人，它最终还是上当受骗了，乌鸦的结局可想而知。

这个故事至少可以说明两个问题：一是乌鸦可以分辨数量的多少，但最多也不过4（其实就人的本能来讲，也不比乌鸦强到哪里；人一眼能分辨的数量不会超过5，超过5的东西就需要计数了，不信你可以做个实验。手里放4个东西，突然张开手给别人看，他大概可以立即说出是4个，但是超过了5，甚至是5本身，人就不可能立刻做出判断，当然天才除外）；二是乌鸦对数有感觉，即有“数感”。这说明了什么？说明“数感”或许真的是来自本能的，来自生物遗传的。当然，做出这样的判断，还要基于其它众多的实验观察，这个我们就不多谈了。

从“有”的角度开始考虑问题是我们的假设，或许也是一个历史的真实，谁知道呢。那么，我们来看一下，1个东西大概是我们最容易理解的事情。为什么？因为1个东西是任何事物最基本的存在形式，也就是“有”的最基本的形式。你如果认可这个说法的话，那么接下来不就是2了吗？你自然会这样想。但远古时期的人们，在数还没有被发明之前，这却不是自然而然就发生的事情。其实最容易想到的一点，对远古人来讲，是“1”对“多”，即除1个事物之外的所有数量的事物都是多。汉语中常用“三”来表示多，大概就是这个原因，因为3之后的数，从感觉上就很难把握了。当然，这已经是在2产生之后的事儿。其实，许多语言中也都存在用“三”表示多的例子，这个不是我们关注的重点。

你可能会觉得，有了1之后，自然就会产生2或者0，但实际上远不是这个样子。2的产生或许比0要早得多，但也一定是在1产生了很长时间之后才有的，而0的产生会更晚。相对于0而言，2 的产生还是要容易得多。你看，我们身体上的很多器官都是对称的，如果每只手里拿着1个同样的东西，那不自然就是2了吗？这个推论是很有道理，但不能完全站住脚，为什么呢？因为那个时候的人还不能“站住脚”，他们还在地上或树上四脚并用的爬着，所以你的推测一定应该是在人能够直立行走之后才可能会有的概念。

谈到多，就会产生另一个非常重要的数学问题，即计数。我们还没法分清楚到底是先有了数还是先有了计数，就像是先有鸡还是先有蛋的问题一样难以回答。我们暂且不管他。就说计数。因为我们是从“有”开始认识1个或多个的，所以对多个事物进行计数是非常必要的，否则远古人之间就没法交流了。

A：“你今天打兔子了？”

B：“1只兔子。”

C：“1堆兔子。”

这样尴尬的聊天场面，你可以自行脑补一下。

现在，请清空你大脑中所有关于数和数学的记忆。设想自己现在是一个远古时期的猎人，你打猎了一堆兔子之后，用什么方法来计数呢？数手指头？不错，这是一个很好的办法，但实际上用数手指的办法计数，已经是很高明的智慧了，因为在数手指的过程中，人们很智慧地认识到这是“序数”。那么在序数之前呢，我们称之为“基数”的东西才是更早产生的数。

一般来说，他们是用一一对应的方法来计数的。比如说，古希腊神话故事中有一位巨人，被人刺瞎了眼睛。他是个牧羊人，看不见，怎么来计数呢？他的办法是用一堆石头来计数，每放进一只羊，他就扔一块石头，如果石头正好扔完，说明他的羊全部回家了，如果没扔完，说明他的羊丢了。这虽然只是一个神话故事，但可以说明远古人记数的方法最早是采取一一对应的办法。但石头肯定不方便携带，或者说任何可以用来计数的东西都不方便携带，所以他们发明了结绳计数的方法，绳子比石头更方便携带吧，后来又发明了在木头上刻道道的办法，这就方便多了。

你想过没有，这样的计数方法还是没有超过1的界限啊。即使我们认为他们解决了多个事物的计数问题，但这样产生的数是不连续的，就像满天星星一样无序，不利于我们记忆，也不利于更广泛的应用。这样的数我们现在称为“基数”。（其实在这里我们不得不用“数”这个字来说事儿，那时候人们根本不可能有这相概念。）

那么，你自然就会想，不是有序数吗？别急，序数的产生一般认为是从人能够直立行走开始的。为什么呢？因为人只有能直立行走之后，才有可能解放双手，这样他们可以采用数手指的方式来计数了，这样就连绳子也不用带了。还是采用一一对应的方法，不过这时不是用扔石头的方式，而是通过弯曲手指的方式。你看，当你弯曲大拇指表示1个，接着弯曲食指表示2，依次类推，序数的概念就产生了。只有当序数产生之后，数制和运算才成为可能。

那么，我们现在称这些1、2、3……等为什么呢？自然数，对吧。自然数，就像他的名称一样，是自然产生的数，是计自然事物数量的数。

至于数字的读音，不同的语言是不一样的，书写方式更是不同。我们现在用的数字书写方式是阿拉伯人发明的，所以称为阿拉伯数字。世界各地还有许多数字书写的方式，比如罗马数字，i, ii, iii, iv, v, vi……X等等。但这些数字书写方式都不如阿拉伯数字方便。比如，21，如果有罗马数字表示就得是XXI，那么表示100呢，那就得是XXXXXXXXXX？不！是C！呵呵！反正这个就有点不太简洁吧。因此，全世界的人都采用了阿拉伯数字的书写方式，而罗马数字，基本只用于表示较小的数字，或者用于装X。这些我们都不去管他，读音、符号比起数的概念来讲都是毛毛虫。

好了，先说这么多。如果你对数的故事感兴趣，我会推荐你一本书，书的名字就叫《数的故事》。这本书可以让你了解数的发展历程，从自然数，到整数，到有理数，到实数，到复数、四元数、超限数。是不是很有意思的样子啊。