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高等代数理论基础54:\lambda-矩阵

高等代数理论基础54:\lambda-矩阵

作者: 溺于恐 | 来源:发表于2019-04-03 06:35 被阅读3次

    \lambda-矩阵

    \lambda-矩阵

    给定数域P,\lambda是一个文字,作多项式环P[\lambda],若一个矩阵的元素是P[\lambda]的元素,则称为\lambda-矩阵,用A(\lambda),B(\lambda),\cdots表示

    注:

    1.数域P中的数也是P[\lambda]的元素,故\lambda-矩阵也包括以数为元素的矩阵,称为数字矩阵

    2.\lambda-矩阵与数字矩阵的运算有相同的运算规律

    3.\lambda-矩阵的行列式是\lambda的一个多项式,与数字矩阵的行列式有相同的性质

    定义:若\lambda-矩阵A(\lambda)中有一个r(r\ge 1)级子式不为零,而所有r+1级子式(若存在)全为零,则称A(\lambda)的秩为r

    规定零矩阵的秩为零

    可逆

    定义:对n\times n\lambda-矩阵A(\lambda),若存在n\times n\lambda-矩阵B(\lambda)使A(\lambda)B(\lambda)=B(\lambda)A(\lambda)=E,则称A(\lambda)可逆,且B(\lambda)(唯一)称为A(\lambda)的逆矩阵,记作A^{-1}(\lambda)

    定理:一个n\times n\lambda-矩阵A(\lambda)可逆的充要条件为|A(\lambda)|\neq 0

    证明:

    充分性

    设d=|A(\lambda)|为一个非零的数

    A^*(\lambda)是A(\lambda)的伴随矩阵,也为一个\lambda-矩阵

    A(\lambda){1\over d}A^*(\lambda)={1\over d}A^*(\lambda)A(\lambda)=E

    \therefore A(\lambda)可逆

    必要性

    若A(\lambda)可逆

    两边取行列式可得

    |A(\lambda)||B(\lambda)|=|E|=1

    \because |A(\lambda)|与|B(\lambda)|都是\lambda的多项式

    \therefore 由乘积为1可知

    它们都是零次多项式,即非零的数\qquad\mathcal{Q.E.D}

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