女儿数学-凑形式-2020-11-20

问题

同学们交换照片，每两个同学之间交换一次，一共交换了78次。问有多少个学生？

难点分析

• 如果已经多少人，求一共交换几次，那么这题就很简单，例题就讲解过；这题又是一道“逆向思维”题，所以就比较难了。

• 从1加到某个自然数，是一个等差数列，带入公式的话会出现二次未知数的情况，也就是一元二次方程，解起来也比较麻烦

方法1：枚举法

总和是78，数字不是很大，所以可以试着枚举一下；

1 + 2 + .... + 10 = （1 + 10）✖️ 10 ➗ 2 = 55 ；（已经很接近了）
1 + 2 + .... + 10 + 11 = 55（1~10的和）+ 11 = 66; （更近了）
1 + 2 + .... + 10 + 11 + 12 = 66（1~11的和） + 12 = 78; (找到了)
12 + 1 = 13（个）
答：有13个学生。

从1开始累加的自然数等差数列是一个特殊的等差数列（首项是1，公差是1），用这种类似“猜”的枚举方式是可行的，简单有效；

方法2：凑形式

从1开始，公差为1的等差数列，就直接代公式，需要用到但是未知的数，就用字母代替，比如n

78 = 1 + 2 + .... + n （不知道要加到几，就用n代替）
= （1 + n）✖️ n ➗ 2 （代等差数列公式）
====> 到这里就算不下去了，所以要另想办法。采用代数里面常用手段：“凑形式”

n ✖️（n + 1）= 78 ✖️ 2 （这里不要算结果，相反要把78分解为2 ✖️ 3 ✖️ 13 ）
= （2 ✖️ 3 ✖️13） ✖️ 2

====> 这里就到关键了，左边是连续两个自然数的乘积，那么右边也要凑出“差不多的形式”

n ✖️（n + 1）= （2 ✖️ 3 ✖️2） ✖️ 13 （交换一下位置，数字重新排列组合，凑形式）
= 12 ✖️13
= 12 ✖️（12 + 1）（几个数字重新组合一下，就跟左边很像了）
所以n = 12
12 + 1 = 13（个）
答：有13个学生。

image.png

方法3：正规解法：（只需要了解，严重超前）

• 首先这题的题型是组合问题（就是从n个元素中取2个），而不是等差数列问题。组合的基本知识可以参考下面的文章：

image.png

如何通俗的解释排列公式和组合公式的含义？

• 解题过程涉及到一元二次方程。一元二次方程的基本知识可以参考下面的文章：

image.png

如何用公式法解一元二次方程

解：假设有n个学生
C（n，2） = n ✖️ (n - 1) ➗ (2 ✖️ 1) = 78； (n个里面取2个，跟顺序无关，是组合问题，所以代组合公式)
====> 化简
n*n - n - 156 = 0
====> 代入公式求未知数（a = 1，b = -1，c = -156)
n = 13（这个就是解）
n = -12（人数不可能为负数，不合题意，舍去）
答：有13个学生。

小结：

• 对于4年级的小朋友来说，推荐用方法1，可以当做一种很特殊的题目来对待；

• 对于数学思维比较活跃的小朋友，推荐用方法2，“凑形式”是常用的方法，但是非常考验数学综合能力

• 至于想要挑战奥数的数学尖兵，用方法3才是稳妥的方法，并且这题只是一道非常基础的题目，没有丝毫的难度。唯一的要求就是“超前学习”，用初中的知识来解这道题目，不要太简单哦。