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【矩阵】18、初等矩阵

【矩阵】18、初等矩阵

作者: 看远方的星 | 来源:发表于2021-02-08 16:25 被阅读0次
初等矩阵.png

一、练习答案

1、用初等变换法，求出矩阵的秩

B=\left( \begin{array}{cccc} 1&2&3&4 \\ 1&0&1&2 \\ 3&-1&-1&0 \\ 1&2&0&-5 \\ \end{array} \right)

\rightarrow \left( \begin{array}{cccc} 1&2&3&4 \\ 0&-2&-2&-2 \\ 0&-7&-10&-12 \\ 0&0&-3&-9 \\ \end{array} \right) \rightarrow \left( \begin{array}{cccc} 1&2&3&4 \\ 0&1&1&1 \\ 0&-7&-10&-12 \\ 0&0&-3&-9 \\ \end{array} \right)

\rightarrow \left( \begin{array}{cccc} 1&2&3&4 \\ 0&1&1&1 \\ 0&0&-3&-5 \\ 0&0&-3&-9 \\ \end{array} \right)\rightarrow \left( \begin{array}{cccc} 1&2&3&4 \\ 0&1&1&1 \\ 0&0&-3&-5 \\ 0&0&0&-4 \\ \end{array} \right)

\Rightarrow r(B)=4

2、设 A=\left( \begin{array}{cccc} a&1&1&1 \\ 1&a&1&1 \\ 1&1&a&1 \\ 1&1&1&a \\ \end{array} \right)，若r(A)=3，求a.

r(A)=3证明有一行为零（秩的定义），证明\left | A \right |=0

\left | A \right |= \left| \begin{array}{cccc} a+3&a+3&a+3&a+3 \\ 1&a&1& 1 \\ 1&1&a&1 \\ 1&1&1& a \\ \end{array} \right|

=(a+3)\left| \begin{array}{cccc} 1&1&1&1 \\ 1&a&1& 1 \\ 1&1&a&1 \\ 1&1&1& a \\ \end{array} \right|=(a+3)\left| \begin{array}{cccc} 1&1&1&1 \\ 0&a-1&0&0 \\ 0&0&a-1&0 \\ 0&0&0& a-1 \\ \end{array} \right|

按最后一行展开：

=(a+3)(a-1)^{3}

所以(a+3)(a-1)^{3}=0，得：a=-3或a=1

若a=-3，A=\left( \begin{array}{cccc} -3&1&1&1 \\ 1&-3&1& 1 \\ 1&1&-3&1 \\ 1&1&1&-3 \\ \end{array} \right)

由于A的3阶子式\left| \begin{array}{cccc} -3&1&1 \\ 1&-3&1 \\ 1&1&-3 \end{array} \right| =-16 \neq 0

r(A)=3，故a=-3

若a=1，A=\left( \begin{array}{cccc} 1&1&1&1 \\ 1&1&1& 1 \\ 1&1&1&1 \\ 1&1&1&1 \\ \end{array} \right) \rightarrow \left( \begin{array}{cccc} 1&1&1&1 \\ 0&0&0&0 \\ 0&0&0&0 \\ 0&0&0&0 \\ \end{array} \right)

r(A)=1故a \neq 1

二、知识点

利用初等变换将A化为B，A与B之间用记号→或\cong连接。
那A和B的差别在哪里？添加什么两者才相等？学习以下内容来解决该问题。

1、初等矩阵的定义

对单位阵进行一次初等变换后得到的矩阵称为初等矩阵。

三种初等行变换得到的初等矩阵分别为：
E(i,j)=\left( \begin{array}{cccc} 1&&&&&& \\ &\ddots&&&&& \\ &&0&\cdots&1&& \\ &&\vdots&\ddots&\vdots&& \\ &&1&\cdots&0&& \\ &&&&&\ddots& \\ &&&&&&1 \\ \end{array} \right)

E(i(k))=\left( \begin{array}{cccc} 1&&& \\ &\ddots&& \\ &&k& \\ &&&\ddots \\ &&&&1 \\ \end{array} \right)

E(i,j(k))=\left( \begin{array}{cccc} 1&&&&&& \\ &\ddots&&&&& \\ &&1&\cdots&k&& \\ &&&\ddots&\vdots&& \\ &&&&1&& \\ &&&&&\ddots& \\ &&&&&&1 \\ \end{array} \right)

对单位阵作一次列变换得到的矩阵也包括在上面的三类矩阵之中。

2、初等矩阵的性质

2.1性质一：

初等矩阵的转置仍为同类型的初等矩阵。

E(i,j)^{T}=\left( \begin{array}{cccc} 1&&&&&& \\ &\ddots&&&&& \\ &&0&\cdots&1&& \\ &&\vdots&\ddots&\vdots&& \\ &&1&\cdots&0&& \\ &&&&&\ddots& \\ &&&&&&1 \\ \end{array} \right) =E(i,j)

E^{T}(i,j)=E(i,j)

E(i(k))^{T}=\left( \begin{array}{cccc} 1&&& \\ &\ddots&& \\ &&k& \\ &&&\ddots \\ &&&&1 \\ \end{array} \right) =E(i(k))

E^{T}(i(k))=E(i(k))

E(i,j(k))^{T}=\left( \begin{array}{cccc} 1&&&&&& \\ &\ddots&&&&& \\ &&1&&&& \\ &&\vdots&\ddots&&& \\ &&k&\cdots&1&& \\ &&&&&\ddots& \\ &&&&&&1 \\ \end{array} \right) =E(j,i(k))

E^{T}(i,j(k))=E(j,i(k))

2.2性质二：

\left | E(i,j) \right |=-1 \quad \left | E(i(k)) \right |=k \quad \left | E(i,j(k)) \right |=1

初等矩阵都是非奇异的。

3、初等矩阵与初等变换的关系

行变换相当于左乘初等矩阵；列变换相当于右乘初等矩阵。

A=\left( \begin{array}{cccc} a_{11}&a_{12}&a_{13}& \\ a_{21}&a_{22}&a_{23}& \\ a_{31}&a_{32}&a_{33}& \\ \end{array} \right) \quad E(1,2)= \left( \begin{array}{cccc} 0&1&0 \\ 1&0&0 \\ 0&0&1 \end{array} \right)

E(1,2)A=\left( \begin{array}{cccc} 0&1&0 \\ 1&0&0 \\ 0&0&1 \end{array} \right)\left( \begin{array}{cccc} a_{11}&a_{12}&a_{13} \\ a_{21}&a_{22}&a_{23} \\ a_{31}&a_{32}&a_{33} \\ \end{array} \right)

=\left( \begin{array}{cccc} a_{21}&a_{22}&a_{23} \\ a_{11}&a_{12}&a_{13} \\ a_{31}&a_{32}&a_{33} \\ \end{array} \right)

AE(1,2)=\left( \begin{array}{cccc} a_{11}&a_{12}&a_{13} \\ a_{21}&a_{22}&a_{23} \\ a_{31}&a_{32}&a_{33} \\ \end{array} \right)\left( \begin{array}{cccc} 0&1&0 \\ 1&0&0 \\ 0&0&1 \end{array} \right)

=\left( \begin{array}{cccc} a_{12}&a_{11}&a_{13} \\ a_{22}&a_{21}&a_{23} \\ a_{32}&a_{31}&a_{33} \\ \end{array} \right)

初等行变换：A \rightarrow B，有：B=PA. \quad P=?
初等列变换：A \rightarrow B，有：B=AQ. \quad Q=?

T_{行}(A_{m \times n})=T_{行}(E_{m \times m})A_{m \times n}
T_{列}(A_{m \times n})=A_{m \times n}T_{列}(E_{n \times n})

例1：求矩阵的标准形并用初等矩阵表示初等变换。
A=\left( \begin{array}{cccc} 1&0&0 \\ 0&1&1 \\ 1&1&0 \end{array} \right)
下一步操作是基于前一步操作

r_{3}-r_{1}\rightarrow
\left( \begin{array}{cccc} 1&0&0 \\ 0&1&1 \\ 0&1&0 \end{array} \right)

r_{2}\leftrightarrow r_{3} \rightarrow
\left( \begin{array}{cccc} 1&0&0 \\ 0&1&0 \\ 0&1&1 \end{array} \right)

r_{3}-r_{2} \rightarrow
\left( \begin{array}{cccc} 1&0&0 \\ 0&1&0 \\ 0&0&1 \end{array} \right)=I

E_{3}=\left( \begin{array}{cccc} 1&0&0 \\ 0&1&0 \\ 0&0&1 \end{array} \right)
每一个操作都是独立对E_{3}的操作

r_{3}-r_{1}\rightarrow
P_{1}=\left( \begin{array}{cccc} 1&0&0 \\ 0&1&0 \\ -1&0&1 \end{array} \right)

r_{2}\leftrightarrow r_{3} \rightarrow
P_{2}=\left( \begin{array}{cccc} 1&0&0 \\ 0&0&1 \\ 0&1&0 \end{array} \right)

r_{3}-r_{1}\rightarrow
P_{3}=\left( \begin{array}{cccc} 1&0&0 \\ 0&1&0 \\ 0&-1&1 \end{array} \right)

可以验证P_{3}P_{2}P_{1}A=I

4、满秩矩阵的补充

定义：若方阵A的秩与其阶数相等，则称A为满秩矩阵；否则称为降秩矩阵。
定理：设A为满秩阵，则A的标准形为同阶单位阵E.即A=E.即A \cong E

4.1推论1：

以下命题等价：

(i)\ A满秩；(ii)\ A \cong E；(iii)\ A非奇异；
(iv)\ A=P_{1}P_{2} \cdots P_{m}；(其中P_{i}为初等矩阵)

只需证明(i)与(iv)等价。
(i)\ A满秩；(iv)\ A=P_{1}P_{2} \cdots P_{m}；(其中P_{i}为初等矩阵)
(i)\ A满秩 \Rightarrow A \cong E，\therefore \exists 初等矩阵P_{1}P_{2} \cdots P_{l}，P_{l+1}，\cdots，P_{m}，
使A=P_{1}P_{2} \cdots P_{l}EP_{l+1} \cdots P_{m}=P_{1}P_{2}\cdots P_{l}P_{l+1} \cdots P_{m}
反之，由于A=P_{1}P_{2} \cdots P_{m}=P_{1}P_{2} \cdots P_{m}E
\therefore A \cong E \Rightarrow A 满秩.

4.2推论2：

矩阵A与B等价的充要条件为存在m阶及n阶满秩阵P、Q，使B_{m \times n}=P_{m}A_{m \times n}Q_{n}

由此还可得到：若P、Q为满秩阵，则
r(A)=r(PA)=r(PAQ)=r(AQ)

三、练习

1、
A=\left( \begin{array}{cccc} a_{11}&a_{12}&a_{13} \\ a_{21}&a_{22}&a_{23} \\ a_{31}&a_{32}&a_{33} \end{array} \right)

B=\left( \begin{array}{cccc} a_{21}&a_{22}&a_{23} \\ a_{11}&a_{12}&a_{13} \\ a_{31}+a_{11}&a_{32}+a_{12}&a_{33}+a_{13} \end{array} \right)

P_{1}=\left( \begin{array}{cccc} 0&1&0 \\ 1&0&0 \\ 0&0& 1 \end{array} \right) \quad P_{2}=\left( \begin{array}{cccc} 1&0&0 \\ 0&1&0 \\ 1&0& 1 \end{array} \right)

以下哪个选项正确？
（1）AP_{1}P_{2}=B
（2）AP_{2}P_{1}=B
（1）P_{1}P_{2}A=B
（1）P_{2}P_{1}A=B

2、\left( \begin{array}{cccc} 1&0&0 \\ 0&1&0 \\ 1&0&1 \end{array} \right) \left( \begin{array}{cccc} 2&-3&8&2 \\ 2&12&-2&12 \\ 1&3&1&4 \\ \end{array} \right) \left( \begin{array}{cccc} 1&0&0&0 \\ 0&1&0&0 \\ 0&-2&1&0 \\ 0&0&0&1 \\ \end{array} \right) =？

3、
设r(A_{4 \times 3})=2,B= \left( \begin{array}{cccc} 1&0&2 \\ 0&2&0 \\ -1&0&3 \end{array} \right) ，求r(AB).

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