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高等代数理论基础31：初等矩阵

高等代数理论基础31：初等矩阵

作者: 溺于恐 | 来源:发表于2019-01-12 10:15 被阅读23次

初等矩阵

初等矩阵

定义：由单位矩阵E经过一次初等变换得到的矩阵称为初等矩阵

注：初等矩阵都是方阵,每个初等变换都有一个与之对应初等矩阵

1.互换矩阵E的i行与j行的位置

P(i,j)=\begin{pmatrix}1\\ &\ddots\\ & &1\\ & & &0& &\cdots& &1\\ & & & &1\\ & & &\vdots& &\ddots& &\vdots\\ & & & & & &1\\ & & &1& &\cdots& &0\\ & & & & & & & &1\\ & & & & & & & & &\ddots\\ & & & & & & & & & &1\end{pmatrix}

2.用数域P中非零数c乘E的i行

P(i(c))=\begin{pmatrix}1\\ &\ddots\\ & &c\\ & & &1\\ & & & &\ddots\\ & & & & &1\end{pmatrix}

3.把矩阵E的j行的k倍加到i行(i列的k倍加到j列)

P(i,j(k))=\begin{pmatrix}1\\ &\ddots\\ & &1& &\cdots& &k\\ & & & &\ddots& &\vdots\\ & & & & & &1\\ & & & & & & &\ddots\\ & & & & & & & &1\end{pmatrix}

初等矩阵与初等变换

引理：对一个s\times n矩阵A作一初等行变换就相当于在A的左边乘上相应的s\times s初等矩阵,对A作一初等列变换就相当于在A的右边乘上相应的n\times n初等矩阵

证明：

令B=(b_{ij})为任意一个s\times s矩阵

A_1,A_2,\cdots,A_s为A的行向量

由矩阵的分块乘法
BA=\begin{pmatrix}b_{11}A_1+b_{12}A_2+\cdots+b_{1s}A_s\\ b_{21}A_1+b_{22}A_2+\cdots+b_{2s}A_s\\ \qquad\cdots\cdots\cdots\\ b_{s1}A_1+b_{sa}A_2+\cdots+b_{ss}A_s\end{pmatrix}

令B=P(i,j)可得

P(i,j)A=\begin{pmatrix}A_1\\\vdots\\A_j\\\vdots\\A_i\\\vdots\\A_s\end{pmatrix}

相当于把A的i行与j行互换

令B=P(i(c))可得

P(i(c))A=\begin{pmatrix}A_1\\\vdots\\cA_i\\\vdots\\A_s\end{pmatrix}

相当于用c乘A的i行

令B=P(i,j(k))可得

P(i,j(k))A=\begin{pmatrix}A_1\\\vdots\\A_i+kA_j\\\vdots\\A_j\\\vdots\\A_s\end{pmatrix}

相当于把A的j行的k倍加到i行\qquad\mathcal{Q.E.D}

初等矩阵的逆矩阵

初等矩阵都是可逆的,且

P(i,j)^{-1}=P(i,j)

P(i(c))^{-1}=P(i(c^{-1}))

P(i,j(k))^{-1}=P(i,j(-k))

矩阵等价

定义：若B可由A经过一系列初等变换得到,则称A与B等价

矩阵间的等价满足：自反性、对称性、传递性

标准型

定理：任一s\times n矩阵A都与形式如下的矩阵等价

\begin{pmatrix}1&0&\cdots&0&\cdots&0\\ 0&1&\cdots&0&\cdots&0\\ \vdots&\vdots& &\vdots& &\vdots\\ 0&0&\cdots&1&\cdots&0\\ 0&0&\cdots&0&\cdots&0\\ \vdots&\vdots& &\vdots& &\vdots\\ 0&0&\cdots&0&\cdots&0\end{pmatrix}

称为矩阵A的标准形,主对角线上1的个数等于A的秩(可以为零)

证明：

若A=O,则已经是标准形

不妨设A\neq O

经初等变换

A可变成一左上角元素不为零的矩阵

a_{11}\neq 0时

将其余的行减去第一行的a_{11}^{-1}a_{i1}(i=2,3,\cdots,s)倍

其余的列减去第一列的a_{11}^{-1}a_{1j}(j=2,3,\cdots,n)倍

然后以a_{11}^{-1}乘第一行

A变成

\begin{pmatrix}1&0&\cdots&0\\ 0\\ \vdots& &A_1\\ 0\end{pmatrix}

A_1是一个(s-1)\times (n-1)矩阵

对A_1重复以上步骤

这样下去可得所求标准形

显然,标准形矩阵的秩等于它主对角线上1的个数

而初等变换不改变矩阵的秩

\therefore 1的个数即矩阵A的秩\qquad\mathcal{Q.E.D}

矩阵等价与初等矩阵

矩阵A,B等价的充要条件是有初等矩阵P_1,\cdots,P_l,Q_1,\cdots,Q_t使A=P_1P_2\cdots P_lBQ_1Q_2\cdots Q_t

可逆矩阵与标准形

n级可逆矩阵的秩为n,所以可逆矩阵的标准形为单位矩阵,反之也成立

可逆与初等矩阵

定理：n级方阵A可逆的充要条件是它能表成一些初等矩阵的乘积A=Q_1Q_2\cdots Q_m

推论：两个s\times n矩阵A,B等价的充要条件为,存在可逆的s级矩阵P与可逆的n级矩阵Q使A=PBQ

注：改写定理条件有Q_m^{-1}\cdots Q_2^{-1}Q_1^{-1}A=E

推论：可逆矩阵总可以经一系列初等变换化成单位矩阵

求逆矩阵方法

给定n级可逆矩阵A,有一系列初等矩阵P_1,\cdots,P_m使P_m\cdots P_1A=E,可得A^{-1}=P_m\cdots P_1=P_m\cdots P_1E

即,若用一系列初等行变换把可逆矩阵A化成单位矩阵,则同样地用这一系列初等行变换去化单位矩阵可得A^{-1}

把A,E两个n\times n矩阵放在一起,作成一个n\times 2n矩阵\begin{pmatrix}A&E\end{pmatrix}

按矩阵的分块乘法

P_m\cdots P_1\begin{pmatrix}A&E\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}P_m\cdots P_1A&P_m\cdots P_1E\end{pmatrix}

=\begin{pmatrix}E&A^{-1}\end{pmatrix}

方法：作n\times 2n矩阵\begin{pmatrix}A&E\end{pmatrix},用初等行变换把它的左边一半化成E,此时,右边一半即为A^{-1}

注：可逆矩阵也可用初等列变换化成单位矩阵,可用初等列变换求逆矩阵

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