高等代数理论基础31：初等矩阵

作者: 溺于恐 | 来源:发表于2019-01-12 10:15 被阅读23次

初等矩阵

定义：由单位矩阵E经过一次初等变换得到的矩阵称为初等矩阵

注：初等矩阵都是方阵,每个初等变换都有一个与之对应初等矩阵

1.互换矩阵E的i行与j行的位置

$P(i,j)=\begin{pmatrix}1\\ &\ddots\\ & &1\\ & & &0& &\cdots& &1\\ & & & &1\\ & & &\vdots& &\ddots& &\vdots\\ & & & & & &1\\ & & &1& &\cdots& &0\\ & & & & & & & &1\\ & & & & & & & & &\ddots\\ & & & & & & & & & &1\end{pmatrix}$

2.用数域P中非零数c乘E的i行

$P(i(c))=\begin{pmatrix}1\\ &\ddots\\ & &c\\ & & &1\\ & & & &\ddots\\ & & & & &1\end{pmatrix}$

3.把矩阵E的j行的k倍加到i行(i列的k倍加到j列)

$P(i,j(k))=\begin{pmatrix}1\\ &\ddots\\ & &1& &\cdots& &k\\ & & & &\ddots& &\vdots\\ & & & & & &1\\ & & & & & & &\ddots\\ & & & & & & & &1\end{pmatrix}$

初等矩阵与初等变换

引理：对一个 $s\times n$ 矩阵A作一初等行变换就相当于在A的左边乘上相应的 $s\times s$ 初等矩阵,对A作一初等列变换就相当于在A的右边乘上相应的 $n\times n$ 初等矩阵

证明：

$令B=(b_{ij})为任意一个s\times s矩阵$

$A_1,A_2,\cdots,A_s为A的行向量$

$由矩阵的分块乘法$
$BA=\begin{pmatrix}b_{11}A_1+b_{12}A_2+\cdots+b_{1s}A_s\\ b_{21}A_1+b_{22}A_2+\cdots+b_{2s}A_s\\ \qquad\cdots\cdots\cdots\\ b_{s1}A_1+b_{sa}A_2+\cdots+b_{ss}A_s\end{pmatrix}$

$令B=P(i,j)可得$

$P(i,j)A=\begin{pmatrix}A_1\\\vdots\\A_j\\\vdots\\A_i\\\vdots\\A_s\end{pmatrix}$

$相当于把A的i行与j行互换$

$令B=P(i(c))可得$

$P(i(c))A=\begin{pmatrix}A_1\\\vdots\\cA_i\\\vdots\\A_s\end{pmatrix}$

$相当于用c乘A的i行$

$令B=P(i,j(k))可得$

$P(i,j(k))A=\begin{pmatrix}A_1\\\vdots\\A_i+kA_j\\\vdots\\A_j\\\vdots\\A_s\end{pmatrix}$

$相当于把A的j行的k倍加到i行\qquad\mathcal{Q.E.D}$

初等矩阵的逆矩阵

初等矩阵都是可逆的,且

$P(i,j)^{-1}=P(i,j)$

$P(i(c))^{-1}=P(i(c^{-1}))$

$P(i,j(k))^{-1}=P(i,j(-k))$

矩阵等价

定义：若B可由A经过一系列初等变换得到,则称A与B等价

矩阵间的等价满足：自反性、对称性、传递性

标准型

定理：任一 $s\times n$ 矩阵A都与形式如下的矩阵等价

$\begin{pmatrix}1&0&\cdots&0&\cdots&0\\ 0&1&\cdots&0&\cdots&0\\ \vdots&\vdots& &\vdots& &\vdots\\ 0&0&\cdots&1&\cdots&0\\ 0&0&\cdots&0&\cdots&0\\ \vdots&\vdots& &\vdots& &\vdots\\ 0&0&\cdots&0&\cdots&0\end{pmatrix}$