两个总体的参数区间估计

作者: echolvan | 来源:发表于2020-05-15 15:54 被阅读0次

单正态总体参数的置信区间的估计
两个总体的参数区间估计
商务与经济统计第8章
区间估计——置信区间
一个总体参数的区间估计
商务与经济统计技术（九）：估计与置信区间
统计学基础2
回归分析的前提假设
5.3 总体均值的区间估计
5.4 总体比例的区间估计

两个总体均值之差的区间估计

两个总体的均值之差 ${\mu_1 - \mu_2}$
设两个总体的均值分别为 $\mu_1,\mu_2$ 两个总体均值之差

两个总体均值之差估计：独立样本

大样本的估计
如果两个样本是从两个总体中独立抽取的，即一个样本中的元素与另外一个样本中的元素相互独立，则称为独立样本，如果两个总体都为正态分布，或两个总体不服从正态分布但两个样本都为大样本
根据抽样分布的知识可知，两个样本的均值之差 $\overline{x_1} - \overline{x_2}$ 的抽样分布服从期望值为( $\mu_1 - \mu_2$ )方差为（ $\frac{\delta_1^2}{n_1} + \frac{\delta_2^2}{n_2}$ ）正态分布。
小样本估计
两个样本都为小样本的情况下，为估计两个总体额均值之差，需要作出以下假定：

两个总体都服从正态分布
两个随机样本独立的分别抽自两个总体
在上述假定下，无论样本量的大小，两个样本均值之差都服从正态分布，当总体方差 $\delta_1^2,\delta_2^2$ 已知时，可以用之前的计算方法

当两个总体的方差 $\delta_1^2和\delta_2^2$ 未知但相等
需要用两个样本的方差 $s_1^2和s_2^2$ 来估计，这时需要将两个样本的数据组合在一起，已给出总体方差的合并估计量 $s_p^2$
$s_p^2 = \frac{(n_1-1)s_1^2+(n_2-1)s_2^2}{n_1+n_2-2}$
$t =\frac{ (\overline{x_1} - \overline{x_2} )-(\mu_1-\mu_2)}{s_p \sqrt{1/n_1 + 1/n_2}}$ ~ $t(n_1+n_2-2)$
因此两个总体均值之差 ${\mu_1 - \mu_2}$ 在 $1-\alpha$ 置信水平的置信区间为 $\overline{x_1} - \overline{x_2} \pm t_{\alpha/2}(n_1+n_2 -2) \sqrt{s_p^2(1/n_1 + 1/n_2)}$
当两个总体的方差 $\delta_1^2$ 和 $\delta_2^2$ 未知且不等时
两个样本均值之差经标准化后近似服从自由度为v的t分布，计算自由度v
$v =\frac{ (\frac{s_1^2}{n_1}+\frac{s_2^2}{n_2})^2}{\frac{(s_1^2/n_1)^2}{n_1-1}+\frac{(s_2^2/n_2)^2}{n_2-1}}$
两个总体均值之差在 $1-\alpha$ 的置信水平下的置信区间
$\overline{x_1}-\overline{x_2} \pm t_{\alpha/2} (v)\sqrt{\frac{s_1^2}{n_1}+\frac{s_2^2}{n_2}}$

两个总体均值之差的估计: 匹配样本

使用独立样本来估计两个总体均值之间存在潜在弊端，比如有种方法指派12个工人时，偶尔可能将技术较差的12人指定给方法1，而将技术较好的12人指定给方法2，这种不公平指派可能会掩盖两种方法组装产品所需时间的真正差异

为了解决这问题，可以使用匹配样本
比如让指定12人先用技术1做一次再要这12人用技术2做一次
使用匹配样本进行估计时
在大样本条件下，两个总体均值之差 $\mu_1-\mu_2$ 在 $1-\alpha$ 置信水平下的置信区间为
$\overline{d} \pm z_{\alpha/2}\frac{\delta_d}{\sqrt{n}}$
$d$ 表示两个匹配样本对应数据的差值
$\overline{d}$ 表示差值的均值
$\delta_d$ 表示差值的标准差
小样本下
$\overline{d} \pm t_{\alpha/2}(n-1)\frac{\delta_d}{\sqrt{n}}$

两个总体方差比的区间估计

两个样本方差比的抽样分布服从 $F(n_1, n_2)$ 分布，因此F分布来构造两个总体方差比 $\delta_1^2/\delta_2^2$ 的置信区间，用F分布构造的两个总体方差比的置信区间

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