《Unity Shader入门精要》| 读书笔记（六）

这一篇来补充一下第四章的内容，太基础的就不写了，有些不太清楚的概念整理一下。

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第4章 学习Shader所需的数学基础

1. 在Unity中，模型空间和世界空间使用的是左手坐标系，相机空间使用的是右手坐标系。

2. 正交矩阵：MM^T = M^TM = I，即 M^T = M^-1。
   正交矩阵的特点：每一行（列）都是单位矩阵，每一行（列）之间相互垂直。
   把n阶正交矩阵的每一行（列）拿出来可以建立一个n维坐标系。

3. 我们通常把坐标看成列向量，因此变换矩阵乘以坐标时，矩阵应该在左边，坐标向量在右边。例如，CBAv，执行的顺序为先进行A变换，再B变换，最后C变换（矩阵你满足乘法结合律）。

4. 仿射变换：合并线性变换和平移变换。
   平移变换不是线性变换，因此不能用3×3的矩阵表示。我们需要扩展到4维空间下，用4×4的矩阵表示仿射变换。

5. 变换矩阵：对于平移和缩放来说，无论是在哪一个坐标轴上变换，都可以用一个矩阵表示；但是对于旋转来说，绕不同轴旋转有不同的旋转矩阵，如果绕两个轴都有旋转，则需要乘以两个旋转矩阵。

平移矩阵 缩放矩阵 三个旋转矩阵

6. 我们要想定义一个坐标空间，必须指明其原点位置和三个坐标轴的方向，而这些数值是相对于另外一个坐标空间而言的，因此就有了父坐标空间和子坐标空间的概念。
   假设子坐标空间C的3个坐标轴在父坐标空间P下分别表示为x_c、y_c、z_c，原点为O_c，则子坐标空间到父坐标空间的变换矩阵为：

7. 模型空间：在建模时设定好的，与模型的位置、朝向等等无关，例如一个人无论面朝哪个方向他的左边永远是相对于他自身的左边；
   世界空间：我们所关心的最大空间，确定了每一个模型的位置，Transform组件中的坐标就是模型在世界坐标中的位置或变换（有父节点的情况除外）；
   相机空间：以相机为原点建立的坐标，相机的正前方是z轴的负方向。
   由模型空间变换到世界空间比较简单，直接乘以变换矩阵即可；由世界空间变换到坐标空间稍微复杂一点，首先我们知道相机在世界空间下的坐标（通过Transform组件），然后求得相机 -> 世界的变换矩阵，最后通过逆矩阵求得世界 -> 相机的变换矩阵，也可以通过反变换直接求得。

8. 正交投影：没有透视效果，保留了物体原本的大小；
   透视投影：有透视效果，近大远小。

9. 透视投影矩阵：透视投影矩阵本身并不做投影，而是为了方便后面投影操作而做的坐标变换。相比于相机空间的坐标轴，变换后x、y轴方向不变，z轴变为原来的反方向，其本质上只是对坐标进行了缩放。透视投影矩阵和透视裁剪空间的示意图如下：

透视投影矩阵 相机空间下坐标（左）和透视裁剪空间坐标（右）

10. 正交投影矩阵：和透视投影矩阵类似。正交投影矩阵和正交裁剪空间的示意图如下：

正交投影矩阵 相机空间下坐标（左）和正交裁剪空间坐标（右）

11. 在上述两个裁剪空间中，若某一点在视椎体中，则变换后的坐标应该满足：-w≤x≤w，-w≤y≤w，-w≤z≤w。

12. 屏幕空间：把视椎体内的物体投影到屏幕上，实现真正的投影，三维坐标变换为二维坐标。需要两个步骤：
    (1) 齐次除法：从齐次裁剪空间转换到归一化设备坐标（NDC），OpenGL坐标范围是[-1, 1]，DirectX坐标范围是[0, 1]；
    (2) 屏幕映射：映射到输出窗口的对应坐标。

13. 坐标空间的总结：

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感觉这章的内容好多啊……还有一点点法线变换的内容没有写，会在后面的文章中介绍一下。

图片来自 东隆咚