2020-05-28

作者: 与尔岩说 | 来源:发表于2020-05-29 00:06 被阅读0次

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第一题：

建立欧式看涨双障碍期权的有限差分格式以及求解步骤。其中股票价格满足：
$\frac{dS}S=rdt+\sigma dW_t$
欧式看涨期权的敲定价格为K，期限为T障碍期权满足：
$V|_{S=S_a}=V|_{S=S_b}=0$
求解区域：
$S_a<S<S=S_b,0<t<T$

解答过程如下：（使用matlab代码）

在假设标的资产价格遵循几何布朗运动、无交易成本和套利交易的机会等假设前提下，线性的 Black-Scholes 期权定价微分方程可以被转化为抛物型微分方程的形式，从而通过差分方法进行解答。但是微分方程假设中的某些限制条件在现实中往往不会实现，由于交易成本和市场不完整等情况会使其可能成为不现实的或经典的模型。接下来，讨论具有常数的连续复利计算的预期年收益率和非常数的股票价格波动率的非线性 Black-Scholes 欧式期权定价微分方程。
为求解 Black-Scholes 微分方程，我们通过有限差分方法对其进行计算，得出高精确度的数值解，首先，分析一个满足不付红利、市场无摩擦等条件的微分方程：
$\frac{\partial f}{\partial t} +rS \frac{\partial f}{\partial t} +\frac{1}2 \sigma^2 S^2 \frac{\partial^2 f}{\partial S^2} =rf$
，可以简单的按求解差分方程组的过程将差分方法分为两类：第一类是可以通过直接计算得出数值解的显式格式差分方法；第二类是可以通过求解差分方程组得出数值解的隐式格式差分方法
由此得出，欧式看涨期权是具有如下边界和初值的方程组的解:

第二题：

假设两个股票价格满足如下的SDE:
$\frac{dS_i(t)}{S_i(t)}=rdt+\sigma_i dW_t$
其中r为无风险利率，利用对冲思想推导齐全定价的BS方程，并求出在相关系数为0的情形下欧式看涨期权的价格。

解答过程：

- BS 公式的推导：

- 价格求解：

第三题：

求随机微分方程
$\left\{ \begin{aligned} \frac{dS}S=(r-q)dt+\sigma dW_t \\ S_t|t=0=S_0 \end{aligned} \right.$

过程如下：

$dS_t=(r-q)dt+\sigma dW_t$
$d(lnS_t)= \frac{dS_t}{S_t}-\frac{1}2\frac{\sigma^2S_t^2}{S_t^2}dt$
$= (r-q-\frac{1}2\sigma^2)dt+\sigma dW_t$
两边积分：
$lnS_t-lnS_0= (r-q-\frac{1}2\sigma^2)dt+\sigma dW_t$
$lnS_t=lnS_0+ (r-q-\frac{1}2\sigma^2)dt+\sigma dW_t$
$S_t=S_0e^{ (r-q-\frac{1}2\sigma^2)dt+\sigma dW_t }$