美文网首页
2020-05-28

2020-05-28

作者: 与尔岩说 | 来源:发表于2020-05-29 00:06 被阅读0次

    第一题:

    建立欧式看涨双障碍期权的有限差分格式以及求解步骤。其中股票价格满足:
    \frac{dS}S=rdt+\sigma dW_t
    欧式看涨期权的敲定价格为K,期限为T障碍期权满足:
    V|_{S=S_a}=V|_{S=S_b}=0
    求解区域:
    S_a<S<S=S_b,0<t<T

    解答过程如下:(使用matlab代码)

    在假设标的资产价格遵循几何布朗运动、无交易成本和套利交易的机会等 假设前提下,线性的 Black-Scholes 期权定价微分方程可以被转化为抛物型微分 方程的形式,从而通过差分方法进行解答。但是微分方程假设中的某些限制条 件在现实中往往不会实现,由于交易成本和市场不完整等情况会使其可能成为 不现实的或经典的模型。接下来,讨论具有常数的连续复利计算的预期年收益 率和非常数的股票价格波动率的非线性 Black-Scholes 欧式 期权定价微分方程。
    为求解 Black-Scholes 微分方程,我们通过有限差分方法对其进行计算,得出高精确度的数值解,首先,分析一个满足不付红利、市场无摩擦等条件的微分方程:
    \frac{\partial f}{\partial t} +rS \frac{\partial f}{\partial t} +\frac{1}2 \sigma^2 S^2 \frac{\partial^2 f}{\partial S^2} =rf
    ,可以简单的按求解差分方程组的过程将差分方法 分为两类:第一类是可以通过直接计算得出数值解的显式格式差分方法;第二 类是可以通过求解差分方程组得出数值解的隐式格式差分方法
    由此得出,欧式看涨期权是具有如下边界和初值的方程组的解:





    第二题:

    假设两个股票价格满足如下的SDE:
    \frac{dS_i(t)}{S_i(t)}=rdt+\sigma_i dW_t
    其中r为无风险利率,利用对冲思想推导齐全定价的BS方程,并求出在相关系数为0的情形下欧式看涨期权的价格。

    解答过程:

    - BS 公式的推导:


    - 价格求解:

    第三题:

    求随机微分方程
    \left\{ \begin{aligned} \frac{dS}S=(r-q)dt+\sigma dW_t \\ S_t|t=0=S_0 \end{aligned} \right.

    过程如下:

    dS_t=(r-q)dt+\sigma dW_t
    d(lnS_t)= \frac{dS_t}{S_t}-\frac{1}2\frac{\sigma^2S_t^2}{S_t^2}dt
    = (r-q-\frac{1}2\sigma^2)dt+\sigma dW_t
    两边积分:
    lnS_t-lnS_0= (r-q-\frac{1}2\sigma^2)dt+\sigma dW_t
    lnS_t=lnS_0+ (r-q-\frac{1}2\sigma^2)dt+\sigma dW_t
    S_t=S_0e^{ (r-q-\frac{1}2\sigma^2)dt+\sigma dW_t }

    相关文章

      网友评论

          本文标题:2020-05-28

          本文链接:https://www.haomeiwen.com/subject/dsktzhtx.html