线性代数笔记12

作者: 大飞哥 | 来源:发表于2019-01-23 21:38 被阅读7次

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$Graph=\{nodes ,edges\}$

image.png

上图，则n=4 nodes，m=5 edges
上图可以是一个电流的网络

通过构造一个矩阵来解析这个图的含义，就称为关联矩阵（电路知识，基尔霍夫定律什么的，这个应该熟的，就当稍微回顾下）
每一行相当于一条边，每一列，相当于一个节点，这条边从这个点流出，则这个点取-1，反之1.
所以第一行可以为[-1 1 0 0]。得到矩阵A
$Ax=\begin{bmatrix} -1 &1 &0 &0 \\ 0 &-1 &1 &0 \\ -1 &0 & 1 & 0\\ -1 &0 & 0& 1\\ 0 & 0 & -1&1 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} x_1\\ x_2\\ x_3\\ x_4 \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} x_2-x_1\\ x_3-x_2\\ x_3-x_1\\ x_4-x_1\\ x_4-x_3 \end{bmatrix} =\begin{bmatrix} 0\\ 0\\ 0\\ 0\\ 0 \end{bmatrix}$

x为节点电势,则矩阵A乘以各点电势，得到各边上的电势差

零空间 $x=c\begin{bmatrix} 1\\ 1\\ 1\\ 1\\ 1 \end{bmatrix}$

只有这一个，所以 $dim(N(A))=1,r=3$

再来看方程A的转置乘以y
则 $dim(N(A^T))=m-r=5-3=2$
y就是边，设为电流

$A^Ty=0$ 就是基尔霍夫电流定律（kirchoff'
s current law）从一个点流出的所有电流和为0

可解出 $N(A^T)$ 的零空间的基：
$\begin{bmatrix} 1\\ 1\\ -1\\ 0\\ 0 \end{bmatrix}，\begin{bmatrix} 0\\ 0\\ 1\\ -1\\ 1 \end{bmatrix}$

找到 $A^T$ 的主元，1，2，4列，对应的是边1，2，4.没有回路（loop），这就是树（tree）

没有回路的图（称为树），说明各行线性无关。

# 表示数量
$dim(N(A^T))=m-r$
有
$\#loops=\#edges-(\#nodes-1)\\ \#nodes-\#edges+\#loops=1$
第二个公式就是欧拉公式

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