整式的乘法与除法

在学习完了整式的加减等等比较简单的运算之后，接下来我们要直接进入整式的乘法与除法了，我们先来看看这一类运算

观察一下上面这几个整式的运算的共同特点，我发现他们都是两个整式相乘，那么接下来我们就来想想他到底应该怎样运算，可以使用怎样的运算法则，好像最开始没什么思路，于是我就开始想之前在数字上使用的那些规律，乘法分配律之类的是否也在整式的运算上也适用呢？是的，他当然是适用的，原因就是因为其实整式他也只不过是一个数字，但是他只不过不是一个确定的数字，可是不管怎么样？他都是一个数字而运算规律适用于所有的数字啊，所以它也适用于所有的整式。

那么接下来就好办了比如说我们拿第一个来举例子，我们可以把它拆成

2.x.y.y.1/3.x.y    也可以直接使用乘法交换律把它变成2×1/3.x.y.y.x.y  然后再变成三分之二乘以x的平方乘以y的三次方，我们很轻松的使用乘法交换，结合律就把他变成了系数相乘乘以字母相乘的形式，所以，这类运算其实就是系数相乘乘以字母相乘，而如果遇到第三个算式那样的情况的话我们只需要把后面整体扩折的平方变成一个个的平方然后就能更好地计算了。而这一类运算我觉得我可以叫他单乘之类的，因为他只有乘法，也就是说是单项式相乘。

那么接下来我们同时也能解决同样的这一类的，除法了，因为成熟互逆所以我们就可以直接得到，（三分之二.x的平方.y的三次方）÷1/3xy=2xyy，被除数的系数除以除数的系数，就得到了答案的系数，而被除数的字母部分除以除数的字母部分，就得到了答案的字母部分，很轻松的，就可以直接通过上面的乘法部分的规律来解释，我觉得我们可以叫这一类除法，单除之类的，因为它是单乘的互逆。

那么接下来我们就来看另外一种：

这种和上面那种不同的就是他的乘数之一是多项式，而不再是以往的单项式了，但是这种情况难道就更复杂了吗？我认为其实并没有我们还可以继续使用运算规律在这时我第一个想到的就是使用乘法分配律直接把它变成一堆我们上面知道怎样解决的那些算式，比如说我拿第一个举例子，他其实就可以拆分成2ab.5abb+2ab.3aab  也就可以直接得到答案，然后把它们相加就可以了，也就是10aabbb+6aaabb  它可以化成（10b+6a）aabb，最后把他们的时候可以完全合并同类项是最好的，那如果合并不了同类项那么就直接把它保留成相加的形式就好了因为画到最简就已经是一个式子的结果了，而像这个上面的情况其实不用化简也是可以的也是很清晰的，写成我这样好像更复杂，所以其实化成10aabbb+6aaabb已经是最简的了

我觉得我可以把这个的运算取名为多乘或者多项乘，因为它是有一个乘数是多项式的乘法，所以我认为这个名字还是比较贴切的

那么接下来我们再想想它上面对应的除法算式又是什么呢？我依旧拿第一个举例子，（10aabbb+6aaabb）÷2ab=（5abb+3aab）其实也就是把括号里两个相加的式子分别除以2ab，那么这个就又和我们上面的除法套上了，而为什么能够把括号里的两个式子分别除以2ab呢？因为我们就在使用除法分配律，有人一听诶没有除法分配律这个词吧！是的，其实我们在使用的是乘法分配律，我们把÷2ab变成乘以2ab分之一，之后分配完了之后再变回来都没关系，而这类除法我觉得我可以教他多项除，对应了多项式的除法又对应了上面的多项乘

那么接下来我们再研究一种公式也就是所谓的完全平方公式，如以下我在图片中列举的这些：

其实这些平方非常的简单，我们就去使用数学的思维，把我们不会的东西转化成我们会的，比如说这些平方的公式，我们可以直接把它变成两个多项式相乘，其实它便的步骤很简单，看似已经变成了我们会的，但是问题就是两个多项式相乘就稍微会有一些困难，我们拿一个家法拿一个减法来举例，加法我选用的（a+b）.（a+b）而减法，我则选用了（m-n）.（m-n），我们先来看加法我们把它变成以上的那种形式之后就可以使用乘法分配律了，把他变成

a.（a+b）+b（a+b）

之后再把它变成：aa+ab+bb+ab

也就是a的平方加b的平方加2ab，把这里面的两个字母换成任意两个字母我们都可以很好的解决它，甚至把其中一个字母再画成一个式子，也就是一个三项的多项式的完全平方公式，我们也可以下面的套套这里然后再化简，而我选用了a和b而不是选用了m和三就是因为a和b能够更好地表示一个规律。

而减法呢？我们也把她变成（m-n）.（m-n），然后变成：

m（m-n）-n（m-n）

就变成了m的平方-mn-mn+n的平方，这里由于有前面是减法的括号所以很容易算错，千万不要化简成-n的平方

而接下来我们除了用运算规律来解释这个平方，我们还可以用这幅图来解释。

a加b的平方吧！但是我们细看可以把它分为四个大区域，a的平方和b的平方，还有两个a和b，也就是a的平方加b的平方加2ab，结合图形是更容易理解的

这就是我探索的整式的乘法与除法，也许这一个的规律并没有那么重要但是我们要学会利用自己已经学过的东西，来探索我们没有学过的东西，最开始我们可以使用运算规律来推导出规律，然后之后我们就可以把那些多项的乘法变成我们之前已经探索出来的单项的乘法，再之后我们的绝对平方公式也可以变成多项的乘法一次一次我们用到前面刚刚探索出来的种种规律，这正是数学的美妙的地方，也许这些规律最后并不需要记住，当你需要再去想起他的时候，你就可以再利用运算的规律去推导一遍，再利用图形的想法去演绎一遍，在利用逻辑去推导一遍，就这样我们从小小的人类的逻辑的一点点地基开始，不断的利用地基里储存的信息不断地把未知的转化成已知的最终建立起了数学的大厦