从圆常数看圆周率在计算中的非必要性

从圆常数看圆周率在计算中的非必要性

文/慈天元

函论喆学主张：定义就是对一个概念输出适配函数。圆常数是一个概念，它的适配函数是4。

概念是基础语素，一般由音、形、义，共同约定。但无书面语言时，音与义也可进行二元约定。由于我们采取了书面表达，所以这里是三要素齐备的。

为什么说圆常数是4呢？这是因为圆面积的计算，可以采用这样的方式：

圆面积=周长×直径÷4，或处理为：S=cd/4

许多场合，我们测量一个圆，测直径显然比测半径更容易一些。因为找圆心的过程，会稍微耽误一点功夫。更奇葩的是已经测出了直径，还要换算成半径，然后才去计算圆面积。

其实圆面积的计算在《九章算术》中，有多种不同算法。我们前面提到的用圆常数计算圆面积的方法，就是其中一种。只不过《九章算术》，没有明确的圆常数概念，只是直接使用了圆常数作计算。

网友Justin提出过这样一个构想：用一根长度确定的线，肯定能围成一个圆，那长度既然确定了，为何π不确定？

这里涉及一个基础性的问题：π是周长和直径之间的比率。周长确定了，不等于这个比率是整数。于是在这里，就涉及到了微积分求解。并且涉及到了变易、简易和不易的三态叠加。

π无限不循环，可谓变易。但“大制不割”，也就是基本面是确定的，只是在微分界面不确定，于是处理数据，也还算简易。最后，圆常数守恒，可谓“不易”。

从牛顿、莱布尼茨开始，微积分就走偏了方向。微积分在中国古代算学中是有应用的，古算学微积分的基础是用不同进位制之间进行周期换算，然后虚化不影响整周期的余值。

这种多进位制之间综合运算的方式，在函论喆学中被称为“函进制”，古人虽然没有这个概念，但他们实际已经开创了函进制算法，并且相当成熟。这就像过去有些人，一直没有正式的名称，随意叫个小名，比如“二狗”、“阿牛”什么的，而“函进制”的小名，就是“周易”。象数的多周期变易趋势，就是“周易”。虽然“周易”在现代学术的殿堂中，约等于“二狗”、“阿牛”，并且其身上确实有土包子气息，你不能说他完全没有闪光点。

周易中有哪些周期变化？有乾、坤两卦，一的积累过程。有阴阳交变，二与三为八，形成的经卦，有重三为六，而六爻态射64别卦的函数关系。本卦变之卦，则有64×64=4096的逻辑空间。64卦配九宫，又可以分形出81宫来。而中国的十进制哪来的？不是数手指头数来的。因为猴子们也有十个手指头，如果数手指头能数出十进制，猴子们早就修炼成数学大神了。中国的十进制，起源于九宫算。因为在九宫中，逢十必须进一，不然没地方摆谱。

《周髀算经》上说：数之法，出于圆方，圆出于方，方出于矩，矩出于九九八十一。也就是说中国古算学，自成系统。并且是象数同参，微宏齐运的。

算学之不同于数学，在于算学是物理与数学的综合学科。数学是符号化逻辑推理系统，对符号算子有绝对依赖。但算学也可以通过对物理过程的演示，来获得直观结果。于是可以把物理对象作为物理算子，从而不必依赖于符号算子的推理。

算学中的几何知识，直接来源于天文物理观测。因此勾股弦定律（当幂函数为2时，勾幂+股幂=弦幂），也可以直接对应于圭表弦的态射。当四维时空投影成二维时，弦就直接影射成了圆的半径。径者经也，所以易经的经字，内涵就是“与时偕行”的弦影线，这条线传统上一般也叫“子午线”，二般也叫“天元线”。圭表与日晷配合，圭表之弦对标日晷立柱，则夸父不必追日，当下日中无影。这就是我们不同于西方的学术传统，我们也称之为“弦射几何”，这里的“弦”不是什么物理量的最小单位，而是可变的物理张量。中国的天文观测起源很早，这个传统可以追溯到母系社会，我们都知道历史上有一个“结绳而治”的时代，这个时代的开创者，是一位伟大的女性，叫弇兹。九宫算的源头，就在弇兹时代。八卦作为刻划符号的发明，要晚于结绳。

从信息编码的角度来讲，结绳就是“绳语言”，已经具备了基础的信息编码、解码功能。绳语言已经可以用于计算和记事，并据此作出一些基础性的决策。现代程序语言的开创者，是一位女性，叫阿达·洛芙莱斯。他是英国诗人拜伦的女儿。而古代最早创立程序语言的同样是女性，她就是被后世尊称为“九天玄女”的弇兹。当然黄帝时代的“九天玄女”，只能是弇兹的传人，而不是那个结绳时代的开创者。而伏羲画卦，创立了“卦语言”，其原始作用，是定方所、因天授时，因时立事。

圆常数最早是什么时代发现的？我们判断可能是在黄帝时代。因为相传黄帝时代就发明了车。这需要对圆面积有较为精确的把握才行。史称“黄帝四面”，有人错误的理解成黄帝长了四个脑袋，这显然荒唐。但如果是为了纪念圆常数的发现，就好理解得多。中国古代有发达的农业科技，这和算学的成熟有直接关系。

用π的四分之一求圆面积也是可以的。这个参数对应的是：0.78539816339……我们称此为圆比率，可以用b指代了事。通常计算圆面积，公式为：S=πrr，这里r指半径。采用圆比率，那么公式为：S=bdd。b是圆比率，d是直径。圆比率的简率是0.8，圆面积等于直径平方乘0.8，这是四舍五入的结果。曾经有一位网友叫黄横，他主张圆面积等于直径平方的五分之四。其主张，至少也不算太离谱，我曾经对他表示过支持。正是在和他的交流中，我才明确意识到，存在一个圆常数：4。后来才知道，原来《九章算术》，早就解决了这个问题。只不过古人没有炒概念的习惯，最后就把炒的机会，作为小礼物，送给了后人。

在工程技术层面，用有限元求解是明智的。单一进位制所造成的小数除不尽问题，已经被量子计算，送进了历史博物馆。

可见，解决问题不一定非要“标准化”，广开思路，结果“纠缠”一致，何妨八仙过海，各显神通？

2023.10.01