众所周知，圆周率是圆的周长与直径的比值。在古代的数学史上，圆周率的研究和计算一定程度上反应了当时的数学水平。古希腊阿基米德，阿拉伯的卡西，古印度阿耶波多，古代中国祖冲之和刘徽等等数学家，都致力于圆周率的研究和计算，先后给出了圆周率的估值。刘徽等人使用的是割圆术：使用内接于圆的正多边形逼近圆，多边形的边数越多，其周长与面积也越接近圆。思路很简单，但其计算量是个不小的挑战。也似乎在计算前，缺少了对计算的论证。不同于古代正多边形的估算，现代借助计算机，已经可以求得的圆周率达到了惊人的位数，2019年3月14日，谷歌宣布圆周率已到小数点后31.4万亿位。那么现代计算的依据是什么呢？
刘徽
圆周率是无理数
1737年，欧拉证明了e是无理数；兰伯特根据欧拉的工作证明：如果x是非零有理数，那么和
都不是有理数。再根据此结果，由
，可得到
不是有理数，因此圆周率是无理数。
圆周率是超越数
勒让德首先猜测圆周率可能不是有理系数方程的根，勒让德的猜测促进了无理数的分类。任何有理系数多项式代数方程的任何一个根叫做一个代数数。即方程的根叫做代数数，其中
是有理数。而那些不是代数数的数叫做超越数。
1873年，法国数学家埃尔米特给出了自然常数的超越性的证明，1882年，德国数学家林德曼证明了
也是超越数。但是
是不是无理数、超越数还有待确定，欧拉常数
是不是无理数也同样有待确定。
圆周率的计算公式
- 维加于1789年发表公式：
- 欧拉-维加公式：
- 欧拉公式：
- 克拉森公式：
- 卢瑟福公式(1841)：
- 高斯公式：
- 达泽公式：
- 布赛尔公式：
- 艾斯克托公式(1896)：
- 肖鲁兹公式(1844):
- 斯特姆公式：
- 山克斯公式(1853)：
- 赫顿：
- 马庭(1706)：
上述公式只是部分成果，而且除了正切反函数表示的公式外，也有一些使用正弦、余弦的反函数的圆周率公式。再使用正切反函数的级数展开式，通过计算机来计算圆周率。由于上述公式的收敛速度有快有慢，圆周率的计算会选择收敛较快的公式。因此欧拉和马庭公式使用的更多一些。
圆周率的级数表达
- 莱布尼茨(1673)：
- 欧拉：
- 欧拉：
- 欧力斯(1656)：
- 松永良弼：
- 牛顿：
- 牛顿：
- 乌衣塔：
- 夏普(1705):
- 马庭(1706)：
1673年，莱布尼茨找到圆周率的一个级数表示形式，结束了人工计算圆周率的工作，开启了计算机计算圆周率的时代。当然了，莱布尼茨的级数收敛速度是偏慢的。借助计算机，圆周率的计算位数也在不断的刷新，很多时候都用来测试计算机的性能。
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