几种教材里求解Ax=0笔记

如果一个矩阵化简为

求解

对比在不同教材中的解题思路。

可汗学院解法

先继续化简为Reduced Row Echelon Form (RREF)

还原为方程组:

用和来表示和，填满矩阵相应位置即可得解：

如果不是太直观的话，其实就是把以下方程写成了矩阵的形式：

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剑桥教材解法

《Mathematics for Machine Learning》
by Marc Peter Deisenroth, A Aldo Faisal, Cheng Soon Ong,
Cambridge University

化简为RREF后，观察到和列可组成一个单位矩阵（identity matrix）

如果是解，此时可用此矩阵求出特解，但此处是0，所以此步省略，直接求通解

我们用和来表示其它列：

我们利用来构造0值（通解都是求0）：

补齐方程，整理顺序（以便直观地看到系数）得：

因为矩阵乘向量可以理解为矩阵和列向量与向量的点积之和，所以红色的系数部分其实就是，得解：

与可汗学院的解得到的两个向量比较下，是一样的，都是和。

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麻省理工教材解法

《Introduction to Linear Alegebra》
by Gilbert Strang,
Massachusetts Institute of Technology

无需继续化简为RREF，直接对方程组：

使用特解。考虑到为主元（pivot），那么分别设 为 和 。
两种情况各代入一次，解出，仍然是和，红色标识了代入值，黑色即为代入后的解。

MIT不止提供了这一个思路，解法二如下：

这次需要化简为RREF，然后互换第2列和第3列（记住这次互换），还记得剑桥的方法里发现能组成一个单位矩阵吗？这里的目的是通过移动列，直接在表现形式上变成单位矩阵：

这里把用虚线反矩阵划成了四个区，左上角为一个Identity Matrix，我们记为I，右上角为自由列，我们记为F，矩阵（这次我们标记为R）变成了

求解，得到，把F和I分别展开(记得F要乘上-1)：

还记得前面加粗提示的交换了两列吗？我们交换了两列，倒置后，我们要把第2, 3行给交换一下：

是不是又得到了两个熟悉的和。？

当时看到Gilbert教授简单粗暴地用 和 直接代入求出解，道理都不跟你讲，然后又给你画大饼，又是F又是I的，觉得可能他的课程不适合初学者，LOL。不过，这些Gilbert教授在此演示的解法并不适用于。

在此特用笔记把几本教材里的思路都记录一下。