因式分解

作者: 洛玖言 | 来源:发表于2019-11-10 10:07 被阅读0次

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分解因式

(1). $p^2(a-1)+p(1-a)$

= $p^2(a-1)-(a-1)$
= $p(a-1)(p-1)$

(2). $(a^2-a)^2-14(a^2-a)+24$

= $(a^2-a-2)(a^2-a-12)$
= $(a-2)(a+1)(a-4)(a+3)$

(3). $ab+b^2+a-b-2$

= $b(a+b)+(a+b)-2(b+1)$
= $(b+1)(a+b)-2(b+1)$
= $(b+1)(a+b-2)$

(4). $2x^4+13x^3+20x^2+11x+2$

= $2x^4+13x^3+6x^2+14x^2+11x+2$
= $x^2(2x+1)(x+6)+(2x+1)(7x+2)$
= $(2x+1)(x^3+6x^2+7x+2)$
= $(2x+1)[x(x^2+6x+5)+2(x+1)]$
= $(2x+1)(x+1)(x^2+5x+2)$

(5). $6x^2+xy-15y^2+4x-25y-10$

= $(2x-3y)(3x+5y)+(4x-25y)-10$
= $(2x-3y-2)(3x+5y+5)$

(6). 如果把多项式 $x^2-8x+m$ 分解因式得 $(x-10)(x+n)$ ，求 $m、n$ 的值。

$(x-10)(x+n)=x^2+(10-n)x-10n$
$n-10=-8$
$-10n=m$
$n=-2$
$m=20$

(7). 已知 $3a+3b=-9$ ，求 $2a^2+4ab+2b^2-6$ 的值。

$a+b=-3$
$2a^2+4ab+2b^2-6$
= $2(a+b)^2-6$
= $12$

(8). 设 $a(a-1)-(a^2-b)=2$ ，求 $\frac {a^2+b^2}2-ab$ 的值。

$a(a-1)-(a^2-b)=2$
= $a^2-a-a^2+b$
= $-a+b=2$
$\frac {a^2+b^2}2-ab=\frac {a^2+b^2-2ab}2=\frac{(a-b)^2}{2}=2$

1.把下列各式分解因式：
(1) $x^2+2y-y^2-2x$

= $(x^2-y^2)-(2x-2y)$
= $(x+y)(x-y)-2(x-y)$
= $(x+y-2)(x-y)$

(2) $2a^2+bc^2-a^2b-2ac$

= $(2a^2-2ac)+(bc^2-a^2b)$
= $2a(a-c)-b(a^2-c^2)$
= $2a(a-c)-b(a-c)(a+c)$
= $(a-c)(2a-ab-bc)$

(3) $a^2+b^2+2ac+2bc+2ab$

= $(a^2+2ab+b^2)+(2ac+2bc)$
= $(a+b)^2+2c(a+b)$
= $(a+b)(a+b+2c)$

(4) $4x^2+y^2-z^2-4xy$

= $(2x-y)^2-z^2$
= $(2x-y+z)(2x-y-z)$

2.把下列关于 $x$ 的二次多项式因式分解
(1) $x^2+x-1$

= $(x+\frac {1+\sqrt 5}2)(x-\frac {1+\sqrt 5}2)$

(2) $x^2+4xy-4y^2$

= $[x+2(1-\sqrt 2)y][x+2(1+\sqrt 2)y]$

1.分解因式： $x^2-y^2-2y-1$

= $x^2-(y^2+2y+1)$
= $x^2-(y+1)^2$
= $(x+y+1)(x-y-1)$

2.把 $2(a^2-3mn)+a(4m-3n)$ 因式分解

= $2a^2-6mn+4am-3an$
= $2a(a+2m)-3n(a+2m)$
= $(a+2m)(2a-3n)$

分组分解法

定义

先分组，再分组分解，然后提公因式

应用

能分组分解的式子有四项或六项或大于六项，一般的分组分解有两种形式：二二分法，三一分法。

比如：

$ax+ay+bx+by$
= $a(x+y)+b(x+y)$
= $(a+b)(x+y)$

1.用分组分解法把 $4x^2-2x-y^2-y$ 因式分解。

= $(4x^2-y^2)-(2x+y)$
= $(2x-y)(2x+y)-(2x+y)$
= $(2x+y)(2x-y-1)$

(1)在实数范围内分解因式： $x^5-64$ .

= $x(x^2+8)(x+2\sqrt 2)(x-2\sqrt 2)$

(2)已知 $a,b,c,d$ 为非负整数，且 $ac+bd+ad+bc=1997$ ,求 $a+b+c+d$ 的值。

$ac+bd+ad+bc=(a+b)(c+d)=1997$
又因为1997为质数
不妨 $a+b=1$ && $c+d=1997$
$a+b+c+d=1998$

(3)已知 $a,b,c$ 是一个三角形的三边，求证： $a^4+b^4+c^4-2a^2b^2-2b^2c^2-2c^2a^2<0$

= $a^4+b^4+c^4+2a^2b^2-2b^2c^2-2c^2a^2-4a^2b^2$
= $(a^2+b^2-c^2)^2-4a^2b^2$
= $(a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(a-b-c)$
由三角形两边之长大于第三边即判断正负

(4) 已知 $x+y=3, x^2+y^2-xy=4$ ，求 $x^4+y^4+x^3y+xy^3$ 的值。

$x^4+y^4+x^3y+xy^3$
= $x^3(x+y)+y^3(x+y)$
= $(x^3+y^3)(x+y)$
= $(x+y)^2(x^2-xy+y^2)$
= $3^2\cdot4$
= 12

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