18世纪诞生的数学家人数是以往任何一个世纪所无法相提并论的，比大师辈出的17世纪还要多。数学的新成果上更是丰富多彩，产生了更多的学科分支，那真是数学史上最好的时代。只是与17世纪以及文艺复兴时期不同，数学家更专注于解决实际问题，而使得数学家和哲学家交集越来越少。由数学带来的理性魅力，影响了当时的各行各业、各阶层人物，甚至动摇了哲学和宗教思想。在那个时代，数学与物理学，尤其是力学的发展有着紧密的关联，就像两条腿走路一样，相互促进的向前发展。
自从微积分的诞生，分析学开始用于解决力学问题，从力学这一肥沃的土壤中汲取了大量的养分。微积分得到进一步发展，进而得到更广泛的应用，催生了新的学科。在数学史上，18世纪被认为是分析的时代，是向现代数学过渡的重要时期。首先对初等函数有了进一步的认识；关于函数的幂级数展开，得到了“泰勒公式”；约翰•伯努利将函数概念公式化，引入了变量代换、部分分式展开等积分技巧。欧拉把函数定义为由一变量与一些常量组成的解析表达式，如多项式、幂级数、指数、对数、三角函数等函数。欧拉还区分了显函数与隐函数、单值函数与多值函数，定义了连续函数、超越函数和代数函数，考虑了函数的幂级数展开式。欧拉是个非常高产的数学家，在物理学、天文学、建筑学等领域都有建树。
欧拉
微积分经过自身的发展后，函数概念深化的同时，被迅速应用到其他领域，从而产生了常微分方程、偏微分方程、变分法、微分几何和代数方程论等新兴的数学分支。除了数学，微积分也促进了自然科学的发展。常微分方程是伴随微积分的成长发展起来的，这是再自然不过的事情了，微积分引入了微分和积分两种运算，而包含了这两种运算的问题也极其容易转化或描述为方程问题。就像古代中国讨论代数方程问题出于生活实践一样，微分方程是在研究弹性理论、天体力学等领域的实际问题中引申而来的。解决这些微分方程问题，自然就成为当时数学家的课题。由此可见物理学为数学发展提供素材的一斑。常微分方程先后经历了一阶到高阶常系数，再到高阶变系数，最后由18世纪最伟大的两个数学家拉格朗日和欧拉加以完善，其中欧拉最先引入了“特解”和“通解”。再稍晚一些，达朗贝尔在研究弦振动形成的曲线问题中，首先接触了偏微分方程。而数学家拉普拉斯，建立了拉普拉斯方程或位势方程，该理论解决了两个物体间的引力问题。变分法起源于“最速降线”问题，该问题经约翰•伯努利公开征解后，吸引力欧洲包括牛顿、莱布尼茨和雅各布•伯努利在内的大多数数学家。最后，由牛顿以匿名的方式投稿，但被约翰发现，“从爪子判断，这是一头狮子”。(牛顿就是这么淡薄名利么？他生前的《运用无穷多项方程的分析学》是在朋友的催促下才于1711年发表，而《流数法与无穷级数》则是他死后的1736年才出版。)至此，常微分方程、偏微分方程和变分法，再加上微积分学，就形成了“分析学”。分析与代数、几何并列称为近代数学的三大学科，只是分析在当时的热度更高一些，吸引力无数的聪明脑袋，甚至吸引了包括从事诸如医学、神学等领域的人纷纷投身数学研究。
拉格朗日
最速降线：求出既不在同一平面也不在同一垂线上的两点间的曲线，使一个质点仅在重力作用下最快速地从一点滑到另一个点。
而将微积分应用于几何研究，催生了微分几何。
要说微积分，也少不了著名的瑞士数学世家——伯努利家族(不少数学家都是出生于瑞士，这也是一个非常有意思的事情)，他们祖孙三代对近代科学，尤其对数学的发展贡献，真可谓传奇一般。可能大家最熟悉的就是约翰的洛必达法则了(洛必达是约翰的学生，他将该方法收录到一本书中，而被误称为洛必达法则)。约翰•伯努利起初学习医学和雅各布•伯努利最初学习神学。
与其他数学家不同，拉格朗日一开始就是一位分析学家，是一位让人尊敬和佩服的伟大数学家。他引入了导数符号，以他名字命名的拉格朗日中值定理；完全用分析方法解决力学问题，完成的著作《力学分析》中囊括纳入了动力系统的一般方程，以及微分方程、偏微分方程和变分法方面的著名成果。拉格朗日在探讨研究问题时，只关注数学，把数学作为问题的根源，因此他高度评价数学的优美和普遍性。拉格朗日用分析法解决力学问题，也区别于牛顿及其追随者对力学研究依赖于几何。而另一位著名的“法兰西牛顿”——拉普拉斯，主要把数学作为工具，每当遇到具体问题时，能够巧妙的修改工具并解决问题。因此，他在纯粹数学上的成果不多，如微分方程中的拉普拉斯变换，计算行列式的拉普拉斯定理。他更著名的是5卷本的《天体力学》。
18世纪的数学家和数学成果远远不止这些，总之那个时代真的太美好。想要了解更多数学内容，请关注公众号：“究尽数学” 和 “究尽中学数学”
网友评论