上次说到所谓的“数学史上的第二次危机”，即是牛顿和莱布尼兹发现微积分理论并极大地影响和造福于各种数学分析，但一些细心的学究却忽然发现，实际上微积分的基本定义居然是不严谨的。莱布尼兹-牛顿时代之后过了大约两百年，康托尔（Cantor）等人提出新的数学理论基础集合论，用集合理论、映射、极限的新方法重新定义微积分，这才总算堵上了这个漏洞。至此集合论又暂时领先，并且人类似乎看到某种“大一统数学理论”的曙光，仿佛通过数学上集合论的概念有望打造出坚实的理论地基，就像欧几里得（Euclid）《几何原本》那样，通过逻辑推演终将建造出辉煌的数学大厦，就等人们在这地基上各展所能了。日拱一卒，总有一天，这座数学（逻辑）的宫殿将无比壮观，甚至有可能通过数学（算法）模拟并解决一切人类已知的问题。比如莱布尼兹等人就曾经有过这种宏大的梦想，寻找一种能够完美替代人类自然语言的可以直接演算的符号系统，因为人类的思维推理可以被视为某类运算，而通过精确的运算就可以彻底解决思维（即看法）上的分歧和错误：“精炼我们的推理的唯一方式是使它们同数学一样切实，这样我们能一眼就找出我们的错误，并且在人们有争议的时候，我们可以简单的说：让我们来计算，而无须进一步的忙乱，就能看出到底谁是正确的。”(《发现的艺术》1685）这个野心实在太大，如果实现了，足以解决一切人类争端和冲突，因为一切都可以用数学算法计算出正确的答案，一切矛盾都能够用数学解决，从此人类将不再有战争。莱布尼兹整个晚年都在为此努力。不过由于这个梦想实在太大，绝非单凭一个人在一个时代用一辈子就能够实现，所以注定也只能是梦想（爱因斯坦也有过类似的大一统物理理论的梦想，即统一场论，力图融合电磁场和引力场而用统一的数学模型解释）。虽然如此，这个想法后来也促成了符号逻辑和现代的数理逻辑的发展。尤其是到现代社会，计算机和信息技术日新月异，大数据、云计算成为可能，机器的计算能力也飞速提高，这就使得这个最终梦想似乎显得更加现实可行了。然而要真正的实现这种终极数学梦想，则必须首先确保数学的基础是可靠的。
由前面的探索可知，数学发展到集合论的阶段似乎已经具有某种王者之气，暂时并不存在什么漏洞了。利用公理系统和集合运算，日拱一卒，数学宫殿终究会建成。然而，可恶的哲学家这时又出来挑事了。这次是罗素（Bertrand Russell），就是那个写《西方哲学史》的罗素。他构造了一个所谓罗素悖论，把集合论的概念又给捅出了个大篓子。
罗素悖论的通俗科普版就是很多人熟知的所谓“理发师悖论”：某个村庄有一个理发师，这个理发师立有一条规矩：他只给本村那些不给自己理发的人理发。现在罗素问数学家们：请问这个理发师给不给他自己理发？如果他给自己理发，那么他就违背了自己的规矩，因为他只给不给自己理发的人理发；如果他不给自己理发，那么按照他的规矩，他就应该给自己理发。
不过数学家可不是范伟，不是这么好忽悠的，单单就这么个玩儿脑筋急转弯的理发师是不可能造成“数学史上的第三次危机”的。只见我们的数学家缓缓道来：罗同学且慢！你这个实际就是个简单的归谬论证啊，你先定义了一个村庄里的理发师，然后定义了这个理发师有一条奇怪的规矩，然后通过推理证明了无论怎样都会导致矛盾出现，所以这实际上就是证明了原先的定义条件就不合理，实际上就是说，根本就不存在一个“给不自己理发的人理发”的理发师，这也并没什么啊，小样！
罗同学不甘示弱：你很机智啊数学家，OK，那么请看这个如何：有一个性质P：不属于自己，再定义一个集合S：满足性质P的所有集合构成的集合，同样地，你用你的归谬法可以证明这个集合S也是不存在的。
数学家：是的，这有什么问题吗？
罗同学：有问题，问题来了：因为你们数学的素朴集合论不是有个基本规则（概括规则），对于给定的合理性质P，都必然存在一个集合S，该集合S由所有满足性质P的元素所构成。对任意元素t都可以准确地判定，t要么是属于S，要么不属于S，对吗？
数学家：是这样，罗同学！
罗同学：然而现在根据你的归谬法却证明了这个S却并不存在啊，这不是违背了集合论的基本前提了吗？现在有合理性质P，却根本不存在这个集合S，使得集合S是由所有满足性质P的元素所构成的。
数学家：我竟无言以对！
罗同学：既然集合论是这么不可靠，那么对于整个建立在集合论基础之上的数学系统，请问您作何感想？
以上，简单地说，就是集合论的前提是对于任何一个合理的性质（比如“给那些不给自己理发的人理发”就是一个合理的性质）都必然存在一个集合，这个集合就是由所有符合这个性质的元素（本例为理发师）组成的，如果一个人符合这个性质就属于这个集合，不符合这个性质就不属于这个集合，而必然不可能出现一个元素既属于这个集合而同时又不属于这个集合。罗素悖论的本质，概括原则造集是任意的，而生成集合的客观规则却不是任意的，二者之间的矛盾产生悖论。
现在集合论出现了漏洞，前面所讲人类的“终极数学梦想”顿时又遭到了打击，于是很多顶尖的数学家、哲学家和逻辑学家又开始重新寻找方法，有的力图另辟蹊径，改造数学系统的基础；有的想办法先补救这个漏洞，比如采用公理化集合论，即通过“公理化系统”来对集合作出限制从而避免出现悖论。还有一种方法是采用“分型论”，有的书也翻译为分层论、分阶论、类型论等，大致就是通过对命题所指涉把命题分为不同的阶层从而避免出现“自我指涉”（自指），因为自指仿佛才是导致悖论的罪魁祸首。比如奇书《GEB》（GEB是哥德尔、埃舍尔和巴赫三个人名字的首字母）就是采用的这种分阶以防止自指的解释。一个最简单的自指悖论例子就是：我在说谎！因为这话的说话者到底是不是在说谎将不可确定，总是自相矛盾。分层理论认为造成自指悖论的原因是人类的模糊语言所指的层级不明确，比如“我在说谎”这句话既可以理解为是指向这句话，也可以理解为指涉说话者，所以造成逻辑上的无穷倒腾互相否定，而分层理论的目标就是要一开始就明确各个命题所指，到底是一阶，二阶，三阶，或是n阶。
1928年左右，大数学家希尔伯特 (David Hilbert 大卫希尔伯特) 效法前辈莱布尼兹，向全世界的数学家小伙伴们提出了个宏伟计划，号召大家建立一组公理体系，使一切数学命题原则上都可由此经有限步推定真伪，这叫做公理体系的“完备性”；并且使公理体系保持“独立性”（即所有公理都是互相独立的，使公理系统尽可能的简洁）和“一致性”（即相容性，不能从公理系统推导出矛盾）。当然了，希尔伯特这里所说的公理不是我们中学几何所说的公理，而是指元数学中彻底形式化的公理。
然而，正当大家为解决数学的理论基础而如火如荼加班加点努力工作的时候，又一个可恶的家伙出现了，哥德尔 (Godel)。就在希尔伯特号召全世界数学家小伙伴联合起来建造数学理论大厦之后才两年多，哥德尔这一声晴天霹雳：散了吧！散了吧！小生已经证明了不完备性定理。你们的梦想将永远不可能实现了。
哥德尔提出的“不完备性定理”（也有翻译为不完全定理）后来就被人们称为哥德尔不完备性定理，包含哥德尔第一定理（任意一个包含一阶谓词逻辑与初等数论的形式系统，都存在一个命题，此命题在该系统中既不能被证真，也不能被证伪）和第二定理（如果系统S含有初等数论，当S无矛盾时，它的无矛盾性不可能在S内被证明）。用通俗的语言讲，如果一个人是纯理性完全按逻辑来指导生活的，那么必定有些事是用他的逻辑无法解决无法抉择的（如“女朋友生气的原因？”），这是哥德尔第一定理。如果他能够顺利解决所有抉择，并不自相矛盾，那么这种顺利并不都是由于他的逻辑来解决的，而一定有别的什么原因，这是哥德尔第二定理。
这下几乎等于是彻底粉碎了几千年来数学家的梦想啊尼玛！而且，不只是数学领域，逻辑学，哲学，凡是通过数学工具进行思维都将受其染指，这不就是否定了人类的思维逻辑吗？在神作《GEB》一书中，作者侯世达（Hofstadter）以哥德尔不完备定理为工具，联结了在数学、逻辑学、绘画艺术、禅宗、人工智能等各个领域的“自指悖论”现象，比如埃舍尔“不可能的画”，巴赫音乐中的“奇异的循环”……读完你会发现，整个世界都像是一个悖论。我甚至隐约觉得，形成类似“悖论”的某种矛盾是一切学问达到高级形态的特征。追究至终极，或许一切理论，一切艺术、宗教、形式，都会导致某种悖论。而自我指涉在各种不同学科不同条件下的表现和引喻，都产生了很多奇怪甚至匪夷所思的现象。
比如一条吞食自己尾巴的蛇，如果不断吞食下去会发生什么？蛇口一直吞到蛇头呢？一直吞到牙呢？
比如构造一个有限的二维双面的平面，比如一张纸，通过扭转使平面的一面与自身的另一面连接，这样你将得到一个Mobius莫比乌斯环，这张奇怪的纸将只有一个面，即没有正反面，只有一个面。
莫比乌斯环
如果一只蚂蚁沿着纸面爬，将可以爬完整个纸面却无需跨过纸的边缘。如果在三维空间采用类似的方法，就是著名的Klein克莱因瓶：此瓶子的底部开一个洞，然后拉长瓶颈并扭转后使细长的瓶颈与底部的开口连接贯通。这样就得到一个“克莱因瓶”，这个奇怪的瓶子虽然也是一个像球面那样的封闭曲面，但却没有内外之分，也没有边缘，瓶壁没有边，一只蚊子可以从“瓶内”飞到“瓶外”而不需要穿透瓶壁。
克莱因瓶
准确地说，无论蚊子从什么地方穿透瓶壁都不可能到达瓶的“内部”，因为这个瓶实际上“有外而无内”。不过遗憾的是，这样的瓶在我们熟悉的三维空间中却永远也造不出来。原因是，扭曲低维需要在高维空间才能实现，比如扭曲蚂蚁的二维平面使之正反面连接形成类似无穷大符号的莫比乌斯环，就需要在人类的三维空间里实现。而扭曲三维瓶身使之内外贯通的克莱因瓶，则需要在四维空间才可能实现，但遗憾的是我们人类目前还只能栖身于此三维空间。
人类的感官系统眼耳鼻舌身，可以感知外部世界的信息。但是如果用来感知人自身会发生什么？人眼不能看见自己的眼睛，但思想可以思想自己的思想。以思想去思想自己的思想，用意识去意识意识，感觉感觉感觉，WTF究竟发生了什么（佛教禅定即采用了此种方法）？曾经有个大神级的科学家也中了这个毒，他因为受到休谟的启发，毕生致力于研究“人类的理性思维理性地思维理性思维本身”，后来写了本神作《纯粹理性批判》，彻底挑战了此前的几乎所有哲学课题，于是这位自然科学家竟因此而成为德国最耀眼的哲学家。
类似的情况，《GEB》也分析了很多，涵盖了艺术、数学、逻辑、宗教、生命科学、信息论、人工智能等各个方面。
莫非，悖论真的是存在的最高形式？
所以，我还能说什么呢？也只能轻轻说一句：我竟无言以对！
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