高等数学：导数与微分题选(1)

高等数学：导数与微分题选(1)

作者: 溺于恐 | 来源:发表于2018-11-23 06:41 被阅读88次

1.设某工厂生产x件产品的成本为 $C(x)=2000+100x-0.1x^2(元),$ 函数C(x)称为成本函数,C(x)的导数C'(x)在经济学中称为边际成本,求

(1)当生产100件产品时的边际成本

(2)生产第101件产品的成本,并与(1)中求得的边际成本作比较,说明边际成本的实际意义

解：

$(1)C'(x)=100-0.2x,$

$C'(100)=100-20=80(元/件)$

$(2)C(101)=11079.9(元),C(100)=11000(元)$

$C(101)-C(100)=79.9(元)\approx 80(元)$

$\therefore 边际成本C'(x)的意义为$

$当产量达到x时,再生产一个单位产品所增添的成本$

2.证明：(cosx)'=-sinx

证：

$(cosx)'=\lim_{\Delta x\to 0} {cos(x+\Delta x)-cosx\over \Delta x}$

$=\lim_{\Delta x\to 0}{-2sin{2x+\Delta x\over 2}sin{\Delta x\over 2}\over \Delta x}$

$=-\lim_{\Delta x\to 0}sin{2x+\Delta x\over 2}\lim_{\Delta x\to 0}{sin{\Delta x\over 2}\over {\Delta x\over 2}}=-sinx$

3.证明：若f(x)为偶函数,且f'(0)存在,证明f'(0)=0

证：

$f'(0)=\lim_{x\to 0}{f(x)-f(0)\over x-0}=\lim_{x\to 0}{f(-x)-f(0)\over x}$

$设t=-x,则$

$f'(0)=\lim_{t\to 0}{f(t)-f(0)\over -t}=-\lim_{t\to 0}{f(t)-f(0)\over t-0}=-f'(0)$

$\therefore f'(0)=0$

4.证明：双曲线 $xy=a^2$ 上任一点处的切线与两坐标轴构成的三角形面积都等于 $2a^2$

证：

$设(x_0,y_0)为双曲线xy=a^2上任一点,则y_0={a^2\over x_0}$

$过点(x_0,y_0)的切线斜率k=({a^2\over x})'|_{x=x_0}=-{a^2\over x_0^2}$

$\therefore 切线方程为y-y_0=-{a^2\over x_0^2}(x-x_0)$

$即x+{x_0^2\over a^2}y-2x_0=0$

$\therefore 横截距为2x_0,纵截距为{2a^2\over x_0}$

$\therefore S={1\over 2}|2x_0|\cdot|{2a^2\over x_0}|=2a^2$

5.推导余切函数及余割函数的导数公式：

$(cotx)'=-csc^2x,\qquad (cscx)'=-cscxcotx$

解：

$(cotx)'=({cosx\over sinx})'={(cosx)'sinx-cosx(sinx)'\over sin^2x}$

$=-{1\over sin^2x}=-csc^2x$

$(cscx)'=({1\over sinx})'=-{cosx\over sin^2x}=-cscxcotx$

6. $y={arcsinx\over arccosx}$ ,求y‘

解：

$y'=({arcsinx\over arccosx})'={{1\over \sqrt{1-x^2}}arccosx+arcsinx{1\over \sqrt{1-x^2}}\over (arccosx)^2}$

${\pi\over 2 \sqrt{1-x^2} (arccosx)^2}$

7. $y={e^t-e^{-t}\over e^t+e^{-t}}$ ,求y'

解：

$y'={(e^t+e^{-t})^2-(e^t-e^{-t})^2\over (e^t+e^{-t})^2}={1\over ch^2t}$

8.求下列函数的导数：

$(1)y=ch(shx)\qquad (2)y=shxe^{chx}$

$(3)y=th(lhx)\qquad (4)y=sh^3x+ch^2x$

$(5)y=th(1-x^2)\qquad (6)y=arsh(x^2+1)$

$(7)y=arch(e^{2x})\qquad (8)y=arctan(thx)$

$(9)y=lnchx+{1\over 2ch^2x}\qquad (10)y=ch^2({x-1\over x+1})$

解：

$(1)y'=[ch(shx)]'=sh(shx)chx$

$(2)y'=(shxe^{chx})'=chxe^{chx}+shxshxe^{chx}$
$=e^{chx}(chx+sh^2x)$

$(3)y'=[th(lnx)]'={1\over xch^2(lnx)}$

$(4)y'=(sh^3x+ch^2x)'=3sh^2xchx+2chxshx$

$(5)y'=[th(1-x^2)]'=-{2x\over ch^2(1-x^2)}$

$(6)y'=[arsh(x^2+1)]'$
$={2x\over \sqrt{1+(x^2+1)^2}}$

$(7)y'=[arch(e^{2x})]'={2e^{2x}\over \sqrt{e^{4x}-1}}$

$(8)y'=[arctan(thx)]'={1\over ch^2x(1+tn^2x)}={1\over 1+2sh^2x}$

$(9)y'=(lnchx+{1\over 2ch^2x})'={shx\over chx}-{shx\over ch^3x}=th^3x$

$(10)y'=[ch^2({x-1\over x+1})]'=ch({x-1\over x+1})sh({x-1\over x+1}){4\over (x+1)^2}$
$={2\over (x+1)^2}sh{2(x-1)\over x+1}$

9.设函数f(x)和g(x)均在点 $x_0$ 的某一领域内有定义,f(x)在 $x_0$ 处可导, $f(x_0)=0$ ,g(x)在 $x_0$ 处连续,则f(x)g(x)在 $x_0$ 处是否可导

解：

$f(x)在x_0处可导,且f(x_0)=0$

$\therefore f'(x_0)=\lim_{x\to x_0}{f(x)-f(x_0)\over x-x_0}=\lim_{x\to x_0}{f(x)\over x-x_0}$

$g(x)在x_0处连续\Rightarrow \lim_{x\to x_0}g(x)=g(x_0)$

$\therefore \lim_{x\to x_0}{f(x)g(x)-f(x_0)g(x_0)\over x-x_0}$

$=\lim_{x\to x_0}{f(x)\over x-x_0}g(x)=f'(x_0)g(x_0)$

$即f(x)g(x)在x_0处可导,导数为f'(x_0)g(x_0)$

10.设函数f(x)满足下列条件：

$(1)f(x+y)=f(x)f(y),\forall x,y\in R$

$(2)f(x)=1+xg(x),\lim_{x\to 0}g(x)=1$

证明：f(x)在R上处处可导,且f'(x)=f(x)

证：

$f'(x)=\lim_{\Delta x\to 0}{f(x+\Delta x)-f(x)\over \Delta x}$

$=\lim_{\Delta x\to 0}{f(x)f(\Delta x)-f(x)\over \Delta x}$

$=\lim_{\Delta x\to 0}[f(x){f(\Delta x)-1\over \Delta x}]$

$=\lim_{\Delta x\to 0}[f(x){\Delta xg(\Delta x)\over \Delta x}]$

$=\lim_{\Delta x\to 0}[f(x)g(\Delta x)]=f(x)$

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