高等数学：函数与极限题选(5)

高等数学：函数与极限题选(5)

作者: 溺于恐 | 来源:发表于2018-11-20 05:45 被阅读61次

1.求函数 $f(x)={x^3+3x^2-x-3\over x^2+x-6}$ 的连续区间,并求极限 $\lim_{x\to 0}f(x),\lim_{x\to -3}f(x),\lim_{x\to 2}f(x)$

解：

$\because f(x)={(x+1)(x-1)(x+3)\over (x-2)(x+3)}$

$\therefore f(x)的间断点只可能为2或-3$

$\therefore f(x)的连续区间为(-\infty,-3),(-3,2),(2,+\infty)$

$f(x)在x=0处连续\Rightarrow \lim_{x\to 0}f(x)=f(0)={1\over 2}$

$\lim_{x\to -3}f(x)=\lim_{x\to -3}{(x+1)(x-1)\over (x-2)}=-{8\over 5}$

$\lim_{x\to 2}f(x)=\lim_{x\to 2}{(x+1)(x-1)(x+3)\over (x-2)(x+3)}=\infty$

2.设函数f(x)与g(x)在点 $x_0$ 处连续,证明函数 $\phi (x)=max{f(x),g(x)},\psi (x)=min{f(x),g(x)}$ 在点 $x_0$ 也连续

证：

$\phi (x)=max{f(x),g(x)}={1\over 2}(f(x)+g(x)+|f(x)-g(x)|)$

$\psi (x)=min{f(x),g(x)}={1\over 2}(f(x)+g(x)-|f(x)-g(x)|)$

$\because f(x)与g(x)在x_0连续$

$\therefore f(x)+g(x)与|f(x)-g(x)|在x_0连续$

$\therefore \phi (x)与\psi (x)在x_0连续$

3. $\lim_{x\to 0} {\sqrt{x+1}-1\over x}$

解：

$原式=\lim_{x\to 0} {(\sqrt{x+1}-1) (\sqrt{x+1}+1)\over x(\sqrt{x+1}+1)}$

$= {1\over \sqrt{x+1}+1} = {1\over 2}$

4. $\lim_{x\to 1} {\sqrt{5x-4} - \sqrt{x}\over x-1}$

解：

$原式=\lim_{x\to 1}{(\sqrt{5x-4}-\sqrt{x})(\sqrt{5x-4}+\sqrt{x})\over (x-1)(\sqrt{5x-4}+\sqrt{x})}$

$=\lim_{x\to 1}{4\over \sqrt{5x-4}+\sqrt{x}}=2$

5. $\lim_{x\to a}{sinx-sina\over x-a}$

解：

$原式=\lim_{x\to a}{2cos{x+a\over 2}sin{x-a\over 2}\over x-a}$

$=cosa$

6. $\lim_{x\to +\infty}(\sqrt{x^2+x} - \sqrt{x^2-x})$

解：

$原式=\lim_{x\to +\infty} {(\sqrt{x^2+x} - \sqrt{x^2-x}) (\sqrt{x^2+x}+\sqrt{x^2-x}) \over \sqrt{x^2+x}+\sqrt{x^2-x}}$

$=\lim_{x\to +\infty} {2x \over \sqrt{x^2+x}+\sqrt{x^2-x}}={2\over 1+1}=1$

7. $\lim_{x\to 0}{(1-{1\over 2}x^2)^{2\over 3}-1\over xln(1+x)}$

解：

$原式=\lim_{x\to 0}{{2\over 3}(-{1\over 2}x^2)\over x\cdot x}=-{1\over 3}$

8. $\lim_{x\to \infty}({3+x\over 6+x})^{x-1\over 2}$

解：

$原式=\lim_{x\to \infty}(1-{3\over x+6})^{-{x+6\over 3}[-{3(x-1)\over 2(x+6)}]}$

$=e^{\lim_{x\to \infty}[-{3(x-1)\over 2(x+6)}ln(1-{3\over x+6})^{-{x+6\over 3}}]}=e^-{3\over 2}$

9. $\lim_{x\to 0}{\sqrt{1+tanx}-\sqrt{1+sinx}\over x\sqrt{1+sin^2x}-x}$

解：

$原式=\lim_{x\to 0}{(\sqrt{1+tanx}-\sqrt{1+sinx})(x\sqrt{1+sin^2x}+x)\over (\sqrt{1+tanx}+\sqrt{1+sinx})(x\sqrt{1+sin^2x}-x)}$

$=\lim_{x\to 0}{(tanx-sinx)(x\sqrt{1+sin^2x}+x)\over (\sqrt{1+tanx}+\sqrt{1+sinx})x^2sin^2x}$

$=\lim_{x\to 0}{(secx-1)(\sqrt{1+sin^2x}+1)\over (\sqrt{1+tanx}+\sqrt{1+sinx})xsinx}$

$=\lim_{x\to 0}{1-cosx\over xsinxcosx}\lim_{x\to 0}{\sqrt{1+sin^2x}+1\over \sqrt{1+tanx}+\sqrt{1+sinx}}$

$=\lim_{x\to 0}{2sin^2{x\over 2}\over xsinxcosx}$

$=\lim_{x\to 0}{{x^2\over 2}\over x^2cosx}={1\over 2}$

10. $\lim_{x\to e}{lnx-1\over x-e}$

解：

$设s=x-e,则x=s+e,当x\to e时,s\to 0$

$原式=\lim_{s\to 0}{ln(s+e)-lne\over s}$

$=\lim_{s\to 0}{ln(1 + {s\over e})\over s}$

$=\lim_{s\to 0}{{s\over e}\over s}={1\over e}$

11. $\lim_{x\to 0}{e^{3x}-e^{2x}-e^x+1\over \sqrt[3]{(1-x)(1+x)}-1}$

解：

$原式=\lim_{x\to e}{(e^{2x}-1)(e^x-1)\over (1-x^2)^{1\over 3}-1}$

$=\lim_{x\to e}{2x\cdot x\over -{1\over 3}x^2}=-6$

12.设f(x)在R上连续,且 $f(x)\neq 0$ , $\varphi(x)$ 在R上有定义,且有间断点,则下列陈述中哪些是对的,哪些是错的,若是对的,说明理由,若是错的,举出反例

(1) $\varphi[f(x)]$ 必有间断点

(2) $[\varphi(x)]^2$ 必有间断点

(3) $f(\varphi(x))$ 未必有间断点

(4) ${\varphi(x)\over f(x)}$ 必有间断点

解：

$(1)错,例如\varphi(x)=sgnx,f(x)=e^x$

$\varphi[f(x)]\equiv 1在R上处处连续$

$(2)错,例如\varphi(x)\begin{cases}1\qquad x\in Q\\ -1\qquad x\in Q^c\end{cases}$

$[\varphi(x)]^2\equiv 1在R上处处连续$

$(3)对,例如,\varphi(x)\begin{cases}1\qquad x\in Q\\ -1\qquad x\in Q^c\end{cases},f(x)=|x|+1$

$f[\varphi(x)]\equiv 2在R上处处连续$

$(4)对,假设F(x)={\varphi(x)\over f(x)}在R上处处连续$

$则\varphi(x)=F(x)f(x)也在R上处处连续,矛盾$

相关文章

网友评论

高等数学

本文标题：高等数学：函数与极限题选(5)

本文链接：https://www.haomeiwen.com/subject/akazfqtx.html

延伸阅读

深度阅读

您也可以注册成为美文阅读网的作者，发表您的原创作品、分享您的心情！

栏目导航

热点阅读

高等数学

关于我们|服务条款|联系我们|高等数学：函数与极限题选(5)|投稿指南|网站地图|RSS订阅|排版工具|手机版

提供经典美文摘抄,优美散文欣赏,现代诗歌精选,短篇小说,心情随笔,表白情书范文,故事会在线阅读欣赏

Copyright © 2014-2023 Haomeiwen.com All Rights Reserved. 好美文阅读网版权所有

备案信息：桂公网安备 45052102000051号 · 桂ICP备13007215号-3

本站所收录作品、热点评论等信息部分来源互联网，目的只是为了系统归纳学习和传递资讯

所有作品版权归原创作者所有，与本站立场无关，如不慎侵犯了你的权益，请联系我们告知，我们将做删除处理！