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2.8 量子谐振子梯度算符 ladder operator

2.8 量子谐振子梯度算符 ladder operator

作者: 莎野椰 | 来源:发表于2020-05-31 17:31 被阅读0次

https://www.youtube.com/watch?v=gRdCV9p8sAU&list=PL65jGfVh1ilueHVVsuCxNXoxrLI3OZAPI&index=20

前言

本节利用谐振子算符，构建薛定谔方程，再用梯度算符求解。

1. 谐振子波函数图像

  • V(x) = 1/2 k x^2 = 1/2 m \omega^2 x^2

    • k是弹性常数 \omega = \sqrt {k/m}

    • 如果定义波函数起始点是中间绿色的点，且水平方向开始延申，那么波函数（绿色线) 会如下图所示(定性)：


      image.png

    • 如果把提高能量线，起始点与能量一致，且有斜度开始延申，波函数可能如下图所示：\color{red}{这里有点问题，起始点向左，同样是E>V，为什么开口向上呢？因为E能量就是相当于纵坐标中的正负分界线}

      image.png

2. 谐振子薛定谔方程TISE

\underbrace{({- \frac{\hbar^2}{2m} \frac{\partial^2 }{\partial x^2} + \frac1 2 m \omega^2 x^2})}_{\hat H} \Psi = E \Psi\\ =1/{(2m)}(\hat p^2 + (m\omega x)^2)\\ \because (z^2+b^2) = (ia+b)(-ia+b)\\ Suggest:\ \ \ \ \pm i\hat p + m\omega \hat x

  • 梯度算符

    • 假设\hat a_{\pm}作为升阶和降阶算符如下，前面的系数纯粹是一种数学上的小技巧。
      \hat a_{\pm} = \frac{1}{\sqrt{2 \hbar m \omega}}(\pm i\hat p + m \omega \hat x)

    那么\hat a_- \cdot \hat a_+ =\hat H公式是否成立？

    \Rightarrow \frac{1}{2 \hbar m \omega} (i\hat p + m\omega \hat x )(-i\hat p + m\omega \hat x)

    \Rightarrow \underbrace{\frac{1}{2 \hbar m \omega}(\hat p^2 + m^2 \omega^2 \hat x^2}_{\frac 1 {\hbar \omega }\hat H} - im\omega \underbrace{(\hat x \hat p - \hat p \hat x)}_{[\hat x,\ \hat p]})

    其中[\hat x,\ \hat p]就是commutator 转化器 对易子

2. 对易子和梯度算符

[\hat A,\ \hat B] = \hat A \hat B - \hat B \hat A

[\hat x,\ \hat p]\psi = (\hat x \hat p - \hat p \hat x )\psi

\hat x (\hat p \psi) - \hat p (\hat x \psi) = x (-i\hbar \frac{\partial \psi}{\partial x})-(-i\hbar \frac{\partial}{\partial x}(x \psi))
对右边括号内进一步求导：
\Rightarrow -i \hbar (x \frac{\partial}{\partial x} - \psi - x\frac{\partial}{\partial x}) = i \hbar \psi

\Rightarrow \underbrace{[\hat x,\ \hat p]=i \hbar}
带入\hat a_- \cdot \hat a_+ =\underbrace{\frac{1}{2 \hbar m \omega}(\hat p^2 + m^2 \omega^2 \hat x^2}_{\frac 1 {\hbar \omega} \hat H} - im\omega \underbrace{(\hat x \hat p - \hat p \hat x)}_{[\hat x,\ \hat p]}) \\ = \frac{1}{\hbar \omega} \hat H + 1/2 \\

or\ \ \hat a_+ \cdot \hat a_-= \frac{1}{\hbar \omega} \hat H - 1/2 \\

  • 以上证明我们可以用a和常数来表示H算符
    即\hat H = \begin{cases} \hbar \omega (\hat a_-\hat a_+ -1/2)\\ \\ \hbar \omega (\hat a_+\hat a_- +1/2) \end{cases}

  • 接下来是聪明的地方：梯度算符和能量

  • 假设\Psi是薛定谔方程的解，那么\hat a_+\Psi 也是薛定谔方程的解，只不过方程变成了\hat H (\hat a_+\Psi )=(E + h\omega)(\hat a_+\Psi )

    • 接下来我们化简\hat H (\hat a_+\Psi )
      \Rightarrow \hbar \omega (\hat a_+\hat a_- +1/2) \hat a_+ \Psi = \hbar \omega (\hat a_+\hat a_-\hat a_+ +1/2\hat a_+) \Psi
      = \hbar \omega \hat a_+ (\hat a_+\hat a_- +1/2) \Psi = \hbar \omega \hat a_+ (\hat a_+\hat a_- - 1/2 + 1) \Psi
      这就通过提取\hat a_+符号到左边，然后构成\hat H:
      = \hat a_+ (\hat H + \hbar \omega) \Psi = \hat a_+ (E + \hbar \omega) \Psi = (E + \hbar \omega) \hat a_+ \Psi

    至此，我们证明了：
    \hat H (\hat a_+\Psi ) = (E + \hbar \omega) \hat a_+ \Psi

  • 所以这是一种生产新解的方法，如果我们得到了一个薛定谔方程的解，通过升降能量\hbar \omega就可以得到其他的解，这就让我们得到了一系列能量阶梯，逐渐增加的解的集合，所谓升降能级，\hat a_+是升阶算符，\hat a_-是降阶算符。

3.梯度算符和基态

至此我们还没求解过一个薛定谔方程,但是得到了如下关系：
\Psi solution \Rightarrow \hat a_+\psi\ \ solution \rightarrow E+\hbar \omega
\Psi solution \Rightarrow \hat a_-\psi\ \ solution \rightarrow E-\hbar \omega

  • 即一个递减的阶梯算符，但是波函数是啥，还不知道


    image.png

  • 那么如何求解波函数呢？假设a_不断作用的波函数上，会得到低于0的能量状态，而这是不存在的，所以，假设存在一个最小波函数\Psi_0，对他作用一个a_-后，得到一个不存在的波函数\hat a_+\Psi_0，那么根据波函数的平方是粒子存在的概率，这个新的波函数=0：

    • 所以根据
      \hat a_+\Psi_0 =0
      波函数归一化条件（积分=1）可以求得最低波函数\Psi_0的解
      \hat a_{-} = \frac{1}{\sqrt{2 \hbar m \omega}}( \hbar \frac{d}{dx} + m \omega \hat x) \Psi_0 = 0
      \Rightarrow \frac{d\psi_0}{dx}=-\frac{m \omega}{\hbar} x \psi_0
      \Rightarrow \int \frac{d\psi_0}{d \psi}=\int -\frac{m \omega}{\hbar} x dx
      解得：\psi_0 =A e^{\frac{m \omega}{2\hbar}x^2}

  • 总结


    image.png
  • 求解波函数\Psi_1,
    根据上述升阶or降阶算符可以求得任何薛定谔方程
    image.png

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