弦论小女孩的弦论课|第九课|量子场论

作者: 周思益 | 来源:发表于2020-06-23 03:42 被阅读0次

今天上课，老师讲量子场。

“量子场论统一了量子理论和狭义相对论[1]。在量子场论里，时空被场 $\varphi(x,t)$ 所充满。这些场是算符。场可以按照如下公式进行傅立叶展开

$\varphi(x) = \int \frac{d^3k}{(2\pi)^{3/2} \sqrt{2 \omega_k} } [\varphi(\vec k) e^{-i(\omega_k x^0-\vec k\cdot \vec x) } + \varphi^*(\vec k) e^{i (\omega_k x^0 - \vec k\cdot \vec x)} ]$

然后把场用产生湮灭算符代替 $\varphi(\vec k)\rightarrow \hat a(\vec k)$ , $\varphi^*(\vec k) \rightarrow \hat a^\dagger(\vec k)$

$\hat \varphi (x) = \int \frac{d^3 k}{(2\pi)^{3/2} \sqrt{2\omega_k}} [\hat a(k) e^{- i (\omega_k x^0-\vec k \cdot \vec x) } + \hat a^\dagger (\vec k) e^{i (\omega_k x^0 - \vec k\cdot \vec x) } ]$

所有的量都具有洛仑兹不变性。场varphi和跟这个场共轭的pi场满足如下的对易关系

$[\hat \varphi(x),\hat \pi(y)]=i\delta(\vec x - \vec y)$

$[\hat \varphi(x),\hat \varphi(y)]=0$

$[\hat \pi(x), \hat \pi(y)]=0$

从对易关系和从场的形式看，你会发现粒子的相互作用发生在了时空中一个特定的，单独的点。请大家看书上的图1.1。

image.png

量子场论的计算能够用围绕展开来做。这种技巧叫做费曼图。比如书上图1.2，我们能看见两个电子散射的费曼图。

这是最低阶的图。然后我们继续加更高阶的图。

这种技巧处理电磁，弱和强相互作用的时候会很好。然而处理引力相互作用的时候就有巨大的问题了。这个问题在于计算中会遇到无穷大。比如如下的积分

$I \sim \int p^{4J-8} d^D p$

p是动量，J是自旋，D是积分测度。现在考虑如下的量

$\lambda=4J+D-8$

如果动量 $p→\infty$

$\lambda<0$

则I是有限的。另一方面，如果动量 $p→\infty$ 而

$\lambda>0$

那么积分就会发散。这会导致计算中的无穷。如果I→\infty但是慢慢的。那样的话就可以用重整化来处理，比如量子电动力学。”

思思又快晕过去了，她心想：前面不是说这世界是量子场吗？怎么后面又说这世界是粒子了？她又开始拿着昨天那两块橡皮开始摆弄。她把两块橡皮合在一起，使劲捏，发现两块橡皮真的沾一起了，很像老师画的费曼图的样子。想着想着又进入了弦论世界。

思思见到了弦论小女孩。思思问弦论小女孩：“老师今天上课，又说量子场，又说粒子，那这世界到底是场是粒子啊？”

弦论小女孩说：“要我说啊，这世界是弦。哈哈哈哈。但是因为人类现在看不见弦嘛。人类都高度近视啦。所以看不见弦。比如人类其实患有1000度的近视，如果戴上100度的眼镜，看到的就是粒子，如果戴上200度的眼镜，就可以看到场啦！”

思思说：“我要看场，快给我眼镜。”

弦论小女孩递给思思一副200度的眼镜。

思思戴上之后，突然有一种周围都被东西塞满了的感觉。好像自己在一个很浓稠的汤里面游泳。但还是什么都看不清的感觉，因为东西太多了。

思思说：“我感觉好像在一个很浓稠的汤里面游泳。虽然看见了很多东西，但是被东西塞满了。”

弦论小女孩说：“那咱们去真空汤里面游泳。”

思思和弦论小女孩使劲游啊游啊游。游到了一个地方。然后进入了一个真空游泳池。

思思和弦论小女孩跳了进去。弦论小女孩从兜里掏出一只金色飞贼和一只蓝色飞贼放了出去。金色飞贼和蓝色飞贼开始在游泳池里面直线游泳，碰了几次游泳池壁之后，金色飞贼和蓝色飞贼融为了一体，幻化成一朵小小的白色小云。白色小云在游泳池里面游了很小的一段距离之后，又变成了金色飞贼和蓝色飞贼。金色飞贼和蓝色飞贼又在游泳池里面继续游泳。如此往复。思思被这些可爱的飞贼深深吸引了。盯着他们看了好半天。过了一阵子思思又回到了课堂里面。

“你怎么好像在神游啊，思思。”老师说，“你来回答这个问题，量子场论的计算技巧是什么？”思思正准备回答：“是看金色飞贼和蓝色飞贼游泳，变化成白色小云的过程。”但是思思此时眼前这些金色飞贼和蓝色飞贼还有白色小云全都消失了。但思思发现金色飞贼，蓝色飞贼和白色小云的运动轨迹描绘出来，正好是黑板上的一个图，图下面赫然写着三个大字：“费曼图”。

思思不假思索地回答道：“费曼图。”

在老师和同学惊异的目光中，思思逃过了第九劫。

[1]为毛我的研究都是广义相对论也进去了。弯曲时空中的量子场论请参见一个参考书《引力的量子效应》。https://www.amazon.com/Introduction-Quantum-Effects-Viatcheslav-Mukhanov/dp/0521868343

不明白的找我。

[2]金色飞贼，白色小云长这样 https://www.particlezoo.net/

晕了，我发现我涂的颜色和CERN不一样。等出书了改过来吧。或者等哪一天我出名了，叫CERN给我改颜色。

[3]金色的反色是蓝色，所以金色飞贼是电子的话，反电子就是蓝色飞贼。

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