行列式（三）- 克拉默法则

作者: mHubery | 来源:发表于2019-03-13 20:28 被阅读0次

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对任意 $n \times n$ 矩阵 $\boldsymbol{A}$ 和任意的 $\mathbb{R}^{n}$ 中向量 $\boldsymbol{b}$ ，令 $\boldsymbol{A}_i(\boldsymbol{b})$ 表示 $\boldsymbol{A}$ 中第 $i$ 列由向量 $\boldsymbol{b}$ 替换得到的矩阵。
定理 7（克拉默法则）
设 $\boldsymbol{A}$ 是一个可逆的 $n \times n$ 矩阵，对 $\mathbb{R}^{n}$ 中任意向量 $\boldsymbol{b}$ ，方程 $\boldsymbol{Ax}=\boldsymbol{b}$ 的唯一解可由下式给出：
$x_i = \frac{det \;\boldsymbol{A}_i(\boldsymbol{b})}{det \;\boldsymbol{A}}, i=1,2,\cdots,n$
证：用 $\boldsymbol{a_1},\cdots, \boldsymbol{a_n}$ 表示 $\boldsymbol{A}$ 的列，用 $\boldsymbol{e_1},\cdots, \boldsymbol{e_n}$ 表示 $n \times n$ 单位矩阵 $\boldsymbol{I}$ 的列。若 $\boldsymbol{Ax}=\boldsymbol{b}$ ，则由矩阵乘法的定义有：
$\begin{aligned} \boldsymbol{A}\times \boldsymbol{I}_i(\boldsymbol{x}) &=\boldsymbol{A}\begin{bmatrix}\boldsymbol{e}_1 & \cdots & \boldsymbol{x} & \cdots & \boldsymbol{e}_n\end{bmatrix} \\ &=\begin{bmatrix} \boldsymbol{Ae}_1 & \cdots & \boldsymbol{Ax} & \cdots & \boldsymbol{Ae}_n \end{bmatrix} \\ &= \begin{bmatrix} \boldsymbol{a}_1 & \cdots & \boldsymbol{b} & \cdots & \boldsymbol{a}_n \end{bmatrix} \\ &= \boldsymbol{A}_i(\boldsymbol{b})\end{aligned}$
由行列式的乘法性质：
$(det \;\boldsymbol{A})(det \;\boldsymbol{I}_i(\boldsymbol{x}))=det \;\boldsymbol{A}_i(\boldsymbol{b})$
左边第二个行列式为 $x_i$ （沿第 $i$ 行作余因子展开），从而 $(det \;\boldsymbol{A})x_i=det \;\boldsymbol{A}_i(\boldsymbol{b})$ 。由 $\boldsymbol{A}$ 可逆，从而 $det \;\boldsymbol{A} \neq 0$ ，于是得证。

利用克拉默法则解方程组 $\begin{cases}3x_1 - 2x_2 = 6 \\ -5x_1 + 4x_2 = 8 \end{cases}$
解：视此方程组为 $\boldsymbol{Ax}=\boldsymbol{b}$ 型，利用上面引入的记号。
$\boldsymbol{A}=\begin{bmatrix} 3 & -2 \\ -5 & 4 \end{bmatrix},\boldsymbol{A}_1(\boldsymbol{b})=\begin{bmatrix} 6 & 8 \\ -5 & 4 \end{bmatrix},\boldsymbol{A}_2(\boldsymbol{b})=\begin{bmatrix} 3 & -2 \\ 6 & 8 \end{bmatrix}$
由于 $det \;\boldsymbol{A}=3 * 4 - (-2) * (-5) = 2$ ，故此方程组有唯一解。由克拉默法则，有：
$\begin{aligned}x_1&=\frac{det \;\boldsymbol{A}_1(\boldsymbol{b})}{det \;\boldsymbol{A}}=\frac{24 + 16}{2}=20 \\ x_2&=\frac{det \;\boldsymbol{A}_2(\boldsymbol{b})}{det \;\boldsymbol{A}}=\frac{24 + 30}{2}=27 \end{aligned}$

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