高等代数理论基础18：Cramer法则

作者: 溺于恐 | 来源:发表于2018-12-30 07:03 被阅读31次

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Cramer法则

定理：若线性方程组 $\begin{cases}a_{11}x_1+a_{12}x_2+\cdots+a_{1n}x_n=b_1\\ a_{21}x_1+a_{22}x_2+\cdots+a_{2n}x_n=b_2\\ \cdots\\ a_{n1}x_1+a_{n2}x_2+\cdots+a_{nn}x_n=b_n\end{cases}$ 的系数矩阵 $A=\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&\cdots&a_{1n}\\ a_{21}&a_{22}&\cdots&a_{2n}\\ \vdots&\vdots& &\vdots\\ a_{n1}&a_{n2}&\cdots&a_{nn}\end{pmatrix}$ 的行列式,即系数行列式 $d=|A|\neq 0$ ,则线性方程组有且仅有唯一解,且解可通过系数表为

$x_1={d_1\over d},x_2={d_2\over d},\cdots,x_n={d_n\over d}$

其中 $d_j$ 是把矩阵A中第j列换成方程组的常数项 $b_1,b_2,\cdots,b_n$ 所成矩阵的行列式,即

$d_j=A=\begin{vmatrix}a_{11}&\cdots&a_{1,j-1}&b_1&a_{1,j+1}&\cdots&a_{1n}\\ a_{21}&\cdots&a_{2,j-1}&b_2&a_{2,j+1}&\cdots&a_{2n}\\ \vdots& &\vdots&\vdots&\vdots& &\vdots\\ a_{n1}&\cdots&a_{n,j-1}&b_n&a_{n,j+1}&\cdots&a_{nn}\end{vmatrix}$

$j=1,2,\cdots,n$

证明：

$把方程组简写为\sum\limits_{j=1}^na_{ij}x_j=b_i,i=1,2,\cdots,n$

$下证x_1={d_1\over d},x_2={d_2\over d},\cdots,x_n={d_n\over d}是方程组的解$

$代入第i个方程可得左端为$

$\sum\limits_{j=1}^na_{ij}{d_j\over d}={1\over d}\sum\limits_{j=1}^na_{ij}d_j$

$\because d_j=b_1A_{1j}+b_2A_{2j}+\cdots+b_nA_{nj}=\sum\limits_{s=1}^nb_sA_{sj}$

$\therefore {1\over d}\sum\limits_{j=1}^na_{ij}d_j={1\over d}\sum\limits_{j=1}^na_{ij}\sum\limits_{s=1}^nb_sA_{sj}$

$={1\over d}\sum\limits_{j=1}^n\sum\limits_{s=1}^na_{ij}A_{sj}b_s$

$={1\over d}\sum\limits_{s=1}^n\sum\limits_{j=1}^na_{ij}A_{sj}b_s$

$={1\over d}\sum\limits_{s=1}^n(\sum\limits_{j=1}^na_{ij}A_{sj})b_s$

$={1\over d}\cdot db_i=b_i$

$与第i个方程右端一致$

$即代入后方程同时变成恒等式$

$\therefore 为方程组的解$

$设(c_1,c_2,\cdots,c_n)是方程组的一个解$

$\therefore 有n个恒等式$

$\sum\limits_{j=1}^na_{ij}c_j=b_i,i=1,\cdots,n$

$下证c_k={d_k\over d}$

$取系数矩阵中第k列元素的代数余子式$

$A_{1k},A_{2k},\cdots,A_{nk}$

$A_{ik}\sum\limits_{j=1}^na_{ij}c_j=b_iA_{ik},i=1,\cdots,n$

$\therefore \sum\limits_{i=1}^nA_{ik}\sum\limits_{j=1}^na_{ij}c_j=\sum\limits_{i=1}^nb_iA_{ik}$

$等式右端等于行列式d按第k列展开式中把a_{ik}分别换成b_i(i=1,2,\cdots,n)$

$\therefore 右端等于d_k$

$左端=\sum\limits_{i=1}^nA_{ik}\sum\limits_{j=1}^na_{ij}c_j$

$=\sum\limits_{i=1}^n\sum\limits_{j=1}^na_{ij}A_{ik}c_j$

$=\sum\limits_{j=1}^n\sum\limits_{i=1}^na_{ij}A_{ik}c_j$

$=\sum\limits_{j=1}^n(\sum\limits_{i=1}^na_{ij}A_{ik})c_j$

$=dc_k$

$\therefore dc_k=d_k,k=1,2,\cdots,n$

$即c_k={d_k\over d},k=1,2,\cdots,n$

$\therefore 若(c_1,c_2,\cdots,c_n)是方程组的一个解$

$则必为({d_1\over d},{d_2\over d},\cdots,{d_n\over d})$

$\therefore 方程组最多有一组解\qquad\mathcal{Q.E.D}$

齐次线性方程组

定义：常数项全为零的线性方程组称为齐次线性方程组

注：齐次线性方程组总是有解的, $(0,0,\cdots,0)$ 就是一个解,称为零解,此外为非零解

定理：若齐次线性方程组 $\begin{cases}a_{11}x_1+a_{12}x_2+\cdots+a_{1n}x_n=0\\ a_{21}x_1+a_{22}x_2+\cdots+a_{2n}x_n=0\\ \cdots\\ a_{n1}x_1+a_{n2}x_2+\cdots+a_{nn}x_n=0\end{cases}$ 的系数矩阵的行列式 $|A|\neq 0$ ,则它只有零解,若方程组有非零解,则 $|A|=0$