矩阵的行列式

在任意方阵中都存在一个标量，称作该方阵的行列式

一、线性运算法则

方阵M的行列式记作|M|或detM。非方阵矩阵的行列式是未定义的。n x n阶矩阵的行列式定义非常复杂，可以先从2x2,3x3矩阵开始。

1、2*2矩阵行列式

2*2矩阵行列式

2、3*3矩阵行列式

3*3矩阵行列式

三阶行列式对角线记法，黑色的减去橙色的。

3、矩阵的余子式

假设矩阵M有r行，c列。记法M{ij}表示从M中除去第i行第j列后剩下的矩阵。显然，该矩阵有r-1行，c-1列。矩阵M{ij}称作矩阵M的余子式：

余子式

4、矩阵的代数余子式

对方阵M，给定行、列元素的代数余子式等于相应余子式的有符号行列式：

矩阵的代数余子式
如上，记法Cij表示M的第i行，第j列元素的代数余子式。注意余子式是矩阵，代数余子式是一个标量

5、任意n维方阵的行列式

n维方阵的行列数存在着多个相等的定义，我们可以使用代数余子式来定义矩阵的行列式。
首先，从矩阵中任意选择一行或一列，对该行或该列中的每个元素，都乘以相对应的代数余子式，这些乘积的和就是矩阵的行列式，如任意选择一行，行i，行列式的计算过程如下：

任意n维矩阵行列式

如计算4*4矩阵的行列式:

4*4矩阵行列式

6、行列式的一些性质

①矩阵积的行列式等于矩阵行列式的积：
|AB|=|A||B|
这个可以扩展到多个矩阵相乘的情况：
|ABCDE·····Z|=|A||B||C||D||E|·····|Z|
②矩阵转置的行列式等于原矩阵的行列式：
|MT|=|M|
③如果矩阵的任意行或列全为零，那么它的行列式等于零
④交换矩阵的任意两行或两列，行列式变负
⑤任意行或列的非零积加到另外一行或列上不会改变行列式的值

二、几何解释

2D中，行列式等于以基向量为两边的平行四边形的有符号面积。有符号面积是指如果平行四边形相当于原来的方位“翻转”，那么面积变负。

平行四边形

3D中，行列式等于以变换后的基向量为三边的平行六面体的有符号体积。3D中，如果变换使得平行六面体“由里向外”翻转，则行列式变负。

平行六面体

行列式和矩阵变换导致的尺寸改变相关。其中行列式和绝对值和面积（2D）、体积（3D）改变相关。行列式的符号说明了改变矩阵是否包含投影或镜像。
矩阵的行列式还能对矩阵所代表的的变换进行分类。如果矩阵行列式为零，那么该矩阵包含投影。如果矩阵行列式为负，那么该矩阵包含镜像。