第6课列空间和零空间

作者: rascalpotato | 来源:发表于2019-06-01 11:07 被阅读0次

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矩阵的列空间

矩阵的零空间

子空间: 2个子空间，一个平面P,一个直线L。

$P \cup L=$ 所有在 $P$ 或者 $L$ 或者两者的向量，这些不属于子空间。

$P \cap L=$ 即在 $P$ 又在 $L$ 上的向量集合，该属于子空间。

子空间条件：

向量加法， $V+M$
向量数乘， $CV$
合起来构成线性组合
必须封闭的运算

列空间：记作 $C(A)$

$A=\begin{bmatrix}1&1&2\\2&1&3\\3&1&4\\4&1&5\end{bmatrix}$

$C(A) \in R^4$ ，向量列一，向量列二，向量列三，三个向量构不成向量空间，需要进行扩充成子空间，取线性组合即可。

三个四维向量的线性组合不等于整个四维空间，它只是一个较小的空间，这空间有多少？

需要同线性方程组联系起来。

抽象的定义背后，有实际目的，是为了深刻认识 $AX=b$

$AX=b$ 对任意右侧向量是否都有解？NO.

什么样的b使方程组有解？

只有b是各列的线性组合时 $AX=b$ 才有解，这时b在列空间内。

$\begin{bmatrix}1&1&2\\2&1&3\\3&1&4\\4&1&5\end{bmatrix}\begin{bmatrix}x_1\\x_2\\x_3\end{bmatrix}= \begin{bmatrix}b_1\\b_2\\b_3\\b_4\end{bmatrix}\\ x_1=1,x_2=0,x_3=0,b=1,2,3,4\\ x_1=0,x_2=1,x_3=0,b=1,1,1,1\\ x_1=0,x_2=0,x_3=1,b=2,3,4,5$

列三=列一+列二，在列一与列二构成的平面上，没有任何贡献，可以说这是“线性相关”，因此列三可以去掉，因此矩阵 $A$ 的列空间可以描述为 $R^4$ 中的二维子空间。

$A$ 的零空间， $A_{m*n}$ 记作 $N(A)$

$AX= \begin{bmatrix}1&1&2\\2&1&3\\3&1&4\\4&1&5\end{bmatrix}\begin{bmatrix}x_1\\x_2\\x_3\end{bmatrix}= \begin{bmatrix}0\\0\\0\\0\end{bmatrix}$

$X$ 向量包含三个分量，因此零空间是 $R^3$ 的子空间，列空间是 $R^4$ 的子空间

求列空间和零空间的一般方法是消元。

如何知道零空间是向量空间的？为什么它能称作“空间”？

检验： $AX=0$ 的解构成一个子空间。（构筑子空间的两种方法）

如果 $AX=0且AX=0;AV=0且AW=0$ 所以 $A(V+W)=0$

$V$ 在零空间， $W$ 在零空间，那么 $V+W$ 也在零空间。

$AV+AW=0;AV=0;A(12V)=12A(V)=0$

如果

$AX= \begin{bmatrix}1&1&2\\2&1&3\\3&1&4\\4&1&5\end{bmatrix} \begin{bmatrix}x_1\\x_2\\x_3\end{bmatrix}= \begin{bmatrix}1\\2\\3\\4\end{bmatrix}$

所有解 $X$ 是否还构成子空间？NO

因为0不是 $X$ 的解，所以 $X$ 构不成子空间，解是不经过原点的平面或直线

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