第10课四个基本子空间

作者: rascalpotato | 来源:发表于2019-10-29 13:08 被阅读0次

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4个基本子空间由以下组成：

列空间： $C(A)$ 在 $R^mm$ 维空间
零空间： $N(A)$ 在 $R^nn$ 维空间
行空间： $C(A^T)A$ 的行的所有组合，在 $R^n$
左零空间： $N(A^T)A$ 转置的零空间，在 $R^m$

基：从基出发构建 $R^n$ 与 $R^m$

4个子空间
维数：？(待补全)

	$C(A)$	$N(A)$	$C(A^T)$	$N(A^T)$
基	主列	一组特殊解， $n-r$ 个
维数	$r$	$n-r$

$n$ 维空间中存在2个维数，一个是 $r$ 维的子空间(行空间)，另一个是 $n-r$ 维的零空间

$m$ 维空间中存在2个维数，一个是 $r$ 维子空间(列空间)，另一个是 $m-r$ 维的左零空间

$C(\underbrace{R}_{行最简})\neq C(A)$

一组基，对于 $A$ 还是 $R$ 来说都是行最简形， $R$ 的前 $r$ 行(秩个数)，不是 $A$ 的前 $r$ 行

$\underbrace{\begin{bmatrix}-1&2&0\\1&-1&0\\-1&0&1\end{bmatrix}}_{E} \underbrace{\begin{bmatrix}1&2&3&1\\1&1&2&1\\1&2&3&1\end{bmatrix}}_{A}= \underbrace{\begin{bmatrix}1&0&1&1\\0&1&1&0\\0&0&0&0\end{bmatrix}}_{R}$

怎样的线性组合使 $A$ 的行向量结果为0。

例如求矩阵的左零空间，就试着寻找一个产生零行向量的行组合
假使求矩阵的零空间，找一个产生零列向量的列组合

$A$ 的各行都是行基的线性组合，为什么此基的生成空间是行空间？

行空间在行最简形式 $R$ 中以最佳形式表现出来

$N(A^T):$ 如果 $A^Ty=0$ ，那么向量 $y$ 就在 $A$ 中的转置矩阵的零空间里，这表示矩阵乘以列向量等于一列零向量

矩阵的自由变量以及特殊解（对 $AX=0$ 而言）

将 $A$ 化简为 $R$ 的步骤，能揭示左零空间的秘密：

$rref\begin{bmatrix} A_{m*n} & I_{}m*m\end{bmatrix} \rightarrow \begin{bmatrix}R_{m*n}&E_{m*m}\end{bmatrix}$

$E_{n*m}$ 记录 $A$ 的第步消元变换，行初等变换。

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