级数求定积分一例

作者: 洛玖言 | 来源:发表于2020-02-06 15:52 被阅读0次

级数求定积分一例
SicPy求定积分
定积分，你好π
第五章定积分
一个教科书没提到的积分求解办法
微积分、高等数学、数学分析区分
数学分析脉络笔记-积分
数值积分
Chapter 1 Numbers and Sets (数域与
无穷流和幂级数

$\displaystyle\int_0^1\ln(1+x)\ln x\text{d}x=2-2\ln2-\dfrac{\pi^2}{12}$

群里有小伙伴问的，这个算是比较明显用级数解

首先

$\displaystyle\ln(1+x)=\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1}\dfrac{x^n}{n}$

其次

$\displaystyle\int_0^1x^k\ln x\text{d}x=\dfrac{1}{1+k}x^{k+1}\ln x\bigg|_0^1-\dfrac{1}{1+k}\int_0^1x^k\text{d}x=-\dfrac{1}{(1+k)^2}$

$\begin{aligned} &\int_0^1\ln(1+x)\ln x\text{d}x\\ =&\int_0^1\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1}\dfrac{x^n}{n}\ln x\text{d}x\\ =&\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1}\int_0^1\dfrac{x^n}{n}\ln x\text{d}x\\ =&\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n}\dfrac{1}{n(n+1)^2}\\ =&\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n}\left(\dfrac{1}{n(n+1)}-\dfrac{1}{(n+1)^2}\right)\\ =&\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n}\dfrac{1}{n}+\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}\dfrac{1}{n+1}+1-\dfrac{\pi^2}{12}\\ =&\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n}\dfrac{1}{n}+1+\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n}\dfrac{1}{n}+1-\dfrac{\pi^2}{12} \\ =&2-2\ln2-\dfrac{\pi^2}{12} \end{aligned}$

感觉简书的markdown总是有莫名其妙的bug

级数求定积分一例
群里有小伙伴问的，这个算是比较明显用级数解首先其次感觉简书的markdown总是有莫名其妙的bug
SicPy求定积分
Sicpy求解定积分：可以利用Scipy模块下的子模块integrate里的quad函数来求计算值。结果：2.5
定积分，你好π
数学公式：求此函数求定积分后的数值为，慢慢看到了和高斯正态分布的某些联系（广义积分）。因为对高斯正态分布求定积...
第五章定积分
一.定积分的概念与性质 1.背景 2.定积分的定义 3.定积分的一般性质（6条） 4.补充注意求极限的三种方法 ...
一个教科书没提到的积分求解办法
有学过微积分的读者，不妨先尝试求下面这个定积分：或许很快就会发现，微积分教科书里面提到的几个积分求解办法，包括换...
微积分、高等数学、数学分析区分
微积分微分+积分高等数学微积分+微分方程+无穷级数数学分析高阶版高等数学
数学分析脉络笔记-积分
一、积分历史 A、牛顿莱布尼茨的微积分是经验的，方法论的，和级数有密切关系，问题是当时根本不考虑级数是否收敛，要不...
数值积分
数值积分法是求定积分的近似值的数值方法。即用被积函数的有限个抽样值的离散或加权平均近似值代替定积分的值，是一种递推...
Chapter 1 Numbers and Sets (数域与
学堂在线：微积分-1 @陈酌微积分基本内容: 极限论, 函数微分、积分理论, 级数, 场论, 常微分方程 ......
无穷流和幂级数
幂级数可以用级数的系数表示。可以用：表示。将这些系数看作一个无穷的流，则可以用无穷流表示幂级数。幂级数的积分...