线性组合和张成

线性组合和张成

一般来说，线性组合是指将标量与向量相乘，并将这些项相加。

例如：
如果 、和 是变量，以及 , 和是标量,

以下方程将是线性组合:

现在将它放到线性代数环境中.我们的变量现在是向量:,和是变量标量与向量的线性组合成为新的向量:

image.png

线性组合可以只相加一次，也可以相加多次。向量与标量的线性组合一般记法为：

什么是张成(span)?

image.png

如果的张成表示为:.例如:以下三个向量:

为了证明这一点, 我们用一个随机向量

线性相关性

• 

• 

• 

一个向量可以通过简单的数学线性组合用另一个向量生成,例如：

当某个向量可以定义为其他向量的线性组合时，它们是一组线性相关的向量。当一组向量中的每个向量都无法定义为其他向量的线性组合时，它们是一组线性不相关的向量。

在我们的示例中：

• { } 是线性相关的集合
• { } 是线性不相关的集合
• { } 是线性不相关的集合

判断一组向量是否为线性相关集合的最简单方式是采用行列式。

求解简化的方程组

向量与标量的线性组合将延伸出以下这个重要概念： 线性方程组。我们将仅深入介绍有两个方程和两个变量的方程组。在更宽泛的线性代数课程中，你将详细了解 含有n 个线性方程的方程组，其中 n可以是任何数字。

假设有两个变量：

• 
• 

：

现在我们知道如何使向量与标量相乘，我们来计算下：

上述方程将得出两个单独的方程：

image.png

上述方程组称为有两个变量、由两个方程组成的方程组。可以通过三种理论方法求解该方程组：

• 图形法
• 替代法
• 消元法

下面，我们将详细介绍这三种方法。

图形法:

绘出这两条线（线性图）并找到交点。交点是 的解，因为它是同时位于这两条线上的唯一点。换句话说，它是唯一满足这两个方程的点。

image.png

可以清晰地看出：

替代法：

在其中一个方程中分离出一个变量，然后在第二个方程中替换它, 这种方法将使方程组缩减成有一个变量的一个方程。在我们的示例中：
(1)
(2)
从 (1) 得出
在方程 (2) 中替换 b
并求解 。
运用简单的代数知识后得出 替换上述方程 (1) 或 (2) 中的 ，得出 。

消元法：
在此方法中，我们将通过乘以相同的数字，即某个标量（系数）的绝对值，消去其中一个变量。我们再看看这两个方程：

image.png

如果使方程 2 两边乘以 5，将得出以下方程组：

image.png

（注意：两个方程乘以的标量 即系数 的绝对值都是 5）

现在将它们相加。得出有一个变量的以下单个方程：

或者：

替换任何一个方程中的 ，得出 。

最终答案：
。

唯一的解是：