线性组合、张成的向量和基

上次介绍向量加法和数乘的同时，也介绍了向量坐标，这也是在数与向量之间反复出现的概念，比如一对数和二维向量。

当你看到一对描述向量的数，比如（3，-2），我们可以把每个坐标看作标量，也就是说它们如何拉伸或压缩一个向量。在x-y坐标系中有两个非常特别的向量，x轴的单位向量“ i 帽” ，和y轴的单位向量“ j 帽” 。现在想象向量（3，-2）的x坐标是一个标量，它将 i 帽拉伸为原来的3倍，t坐标是一个标量，它将 j 帽拉伸为原来的-2倍。从这个角度去看，这个向量实际上是两个经过缩放的向量的和。

“缩放向量并且相加”这一概念至关重要。i 帽和 j 帽两个向量有着特殊的名称——坐标系的“基”，这是在说，当你把坐标看作标量时，基向量实际上就是这些标量缩放的对象。我们根据这两个特殊的基向量构建坐标系时，也浮现了一个有趣而微妙的问题：我们完全可以选择不同的基向量，获得一个合理的新坐标系。

比如在x-y坐标系中随便选一个指向右上方的向量 v，和一个指向右下方的向量 w，想象一下，通过选择两个标量，分别用于缩放二者的其中一个，然后把它们相加，你能得到不同的结果。通过改变所选择的标量，你可以得到哪些二维向量？答案是，你可以得到所有的二维向量。

这样的一对新的基向量 v和w，同样允许我们在一对数与二维向量之间自由转化，但是这种变换关系与之前用 i 帽和 j 帽的变换关系不同，后续会详细说明不同坐标系之间的确切关系。现在只需要接受一点：每当我们用数字描述向量时，它都依赖我们正在使用的基。

两个数乘向量的和被称为这两个向量的线性组合。“线性”这个词从哪儿来的？这跟直线又有什么关系？虽然不是这个词的根源，但你可以这样看待它：如果固定其中一个标量，让另一个标量自由变换，所产生的向量的终点会描出一条直线。

如果你让两个标量同时自由变化，考虑所有可能得到的向量，可能有三种情况：大部分情况下，对于一对初始向量，你能到达平面中的每一个点，所有的二维向量都尽在掌握；也有糟糕的情况，当两个初始向量恰好共线时，所产生的向量的终点就被限制在一条直线上；当两个向量都是零向量，那就只能乖乖待在原点了。

三种情形

这其中有一些术语，所有可以表示为给定向量线性组合的向量的集合，被称为给定向量张成的空间（span）。用术语来说，对不共线的二维向量，它们张成的空间是所有二维向量的集合，但是当它们共线时，张成的空间就是终点落在一条直线上的向量的集合。

a与b在实数范围内变动

之前说过，“线性代数紧紧围绕向量加法与数乘”，两个向量张成的空间实际上是问，仅通过向量加法和向量数乘这两种基础运算，你能获得的所有可能向量的集合是什么。

想象平面上很多向量的情况，为了简洁，通常我们用向量的终点代表该向量，向量的起点仍旧位于原点。这样的话，如果你要考虑落在一条直线上的所有向量时，你只要考虑直线本身就行了。要考虑平面上的所有二维向量时，将每个向量抽象为它的终点，实际上你就不必考虑所有箭头，只需要考虑无限大的二维平面本身即可。单个向量看作箭头，多个向量看作点。

每个向量抽象为点

所以之前的例子，不共线的两个二维向量，它们张成的空间是整个无限大的二维平面；共线时，张成的空间就是一条直线。

两个三维向量张成的空间是什么样的？两个向量张成的空间就是它们所有可能的线性组合，也就是缩放再相加之后所有可能得到的向量。你大概可以想象一下，逐渐改变线性组合中的两个标量，把缩放后的向量相加，然后跟着最终向量的终点走，这个终点会画出三维空间中某个过原点的平面，所有终点落在这个平面上的向量的集合是两个向量张成的空间。

两个三维向量张成的空间

如果再加上第三个向量，那么它们张成的空间又是什么样的呢？三个向量的线性组合的定义和之前的方法基本一致：选择三个标量，对三个向量分别进行缩放，然后把结果相加。而这三个向量所有可能的线性组合构成了它们张成的空间。

三个三维向量

如果第三个向量恰好落在前两个向量所张成的平面上，它们张成的空间并不改变，还是被困在这个平面中。换句话说，在线性组合中引入第三个向量并没有让你“走得更远”。

第三个向量（红色）恰好落在前两个向量所张成的平面上

但是如果你随机选一个向量，它几乎不可能落在前两个向量所张成的平面中，这种情况下，由于第三个向量直线不同的方向，我们就能得到所有的三维向量。当你缩放迪桑向量时，它将于前两个向量所张成的平面沿它的方向来回移动，从而扫过整个三维空间。

至于第三个向量已经落在前两个向量张成的空间中，或者两个向量恰好共线的情况，我们需要一些术语来描述它们，即一组向量中至少有一个是多余的，没有对张成空间做出任何贡献。你有多个向量，并且可以移除其中一个而不减小张成的空间，当这种情况发生时，我们称它们是“线性相关”的。另一种表述方法是，其中一个向量可以表示为其它向量的线性组合，因为这个向量已经落在其它向量张成的空间之中。另一方面，如果所有向量都给张成的空间增添了新的维度，它们就被称为是“线性无关”的。