【数学】证明洛必达法则在0/0型时成立

证明 f(x)/g(x) 在 x=a时，若f(a)=0 且 g(a)=0，则f(x)/g(x) = f(x)'/g(x)'

如上图所示，f(x) 和 g(x) 在 x=a时，两个函数曲线相交于 X轴，假设在a点附近的有一个点，与a 距离dx，根据 dy/dx = f(x)' ，可以计算出 dy = dx * f(x)'.
所以函数 f(x)在a点附近dx处的函数值是 f(a) + dy = f(a) + dx * f(x)'.
同理函数 g(x)在a点附近dx处的函数值是 g(a) + dy = g(a) + dx * g(x)'.

由于x = a 且 f(a) = g(a) = 0 且 dx很小
f(x)/g(x) = f(x + dx)/g(x + dx) = f(a) + dx * f(x)' / g(a) + dx * g(x)'
上面等于进一步转化为
f(x)/d(x) = dx * f(x)' / dx * g(x)'
将dx约去得到
f(x) / d(x) = f(x)' / g(x)'
因此 0/0型函数可以使用洛必达法则。

在x=a时 f(x) 或g(x)不等于0，即非 0/0 时，根据上面的式子
f(x)/g(x) = f(x + dx)/g(x + dx) = f(a) + dx * f(x)' / g(a) + dx * g(x)'
f(a) 和 g(a)不会同时为0. 所以该程式无法将dx约掉
f(x)/g(x) = f(a) + dx * f(x)' / g(a) + dx * g(x)' ，因此不能证明 f(x)/g(x) = f(x)'/g(x)'