怎么解三角函数周期相关的问题？

作者: 天马无空 | 来源:发表于2020-07-27 22:17 被阅读0次

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求三角函数的周期

解题步骤：

第一步利用恒等变换将其化成“ $y=A\sin(\omega x+\varphi)$ 、 $y=A\cos(\omega x+\varphi)$ ”的形式；

第二步运用周期的计算公式 $T=\dfrac{2\pi}{\omega}$ 直接计算可得所求.

第三步得出结论.

【例】设 $f(x)=a\sin \omega x+b\cos \omega x(\omega>0)$ 的周期 $T=\pi$ ，最大值 $f\left(\dfrac{\pi}{12}\right)=4$ ，

（1）求 $\omega$ 、 $a$ 、 $b$ 的值；

（2）若 $\alpha$ 、 $\beta$ 为方程 $f(x)=0$ 的两根， $\alpha$ 、 $\beta$ 终边不共线，求 $\tan (\alpha+\beta)$ 的值。

【解析】

（1） $f(x)=\sqrt{a^2+b^2}\sin (\omega x+\varphi)$ ；

$\therefore T=\pi$ ， $\therefore \omega=\dfrac{2\pi}{T}=2$

又因为 $f(x)$ 的最大值 $f\left(\dfrac{\pi}{12}\right)=4$

所以 $4=\sqrt{a^2+b^2}$ ①

且 $4=a \sin \dfrac{2\pi}{12}+b\cos \dfrac{2\pi}{12}$ ②

由①、②解得 $a=2$ ， $b=3$

（2） $f(x)=2\sin 2x+2\sqrt{3}\cos 2x=4\sin \left(2x+\dfrac{\pi}{3}\right)$ ，

依题意有 $f(\alpha)=f(\beta)=0$

$\therefore 4\sin \left(2\alpha+\dfrac{\pi}{3}\right)=4\sin \left(2\beta+\dfrac{\pi}{3}\right)$

$\therefore 2\alpha+\dfrac{\pi}{3}=2k\pi+2\beta+\dfrac{\pi}{3}$ 或 $2\alpha+\dfrac{\pi}{3}=2k\pi+\pi-(2\beta+\dfrac{\pi}{3})$

即 $\alpha=k\pi+\beta$ （ $\alpha$ 、 $\beta$ 终边共线，舍去）或 $\alpha+\beta=k\pi+\dfrac{\pi}{6}$

$\therefore \tan(\alpha+\beta)=\tan\left(k\pi+\dfrac{\pi}{6}\right)=\dfrac{\sqrt{3}}{3}$ ， $k \in \mathbb{Z}$

【总结】方程组的思想是解题时常用的基本思想方法；在解题时不要忘记三角函数的周期性.

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