怎么利用坐标法解向量相关的问题？

作者: 天马无空 | 来源:发表于2020-08-13 21:42 被阅读0次

怎么利用坐标法解向量相关的问题？
表征模式13:空间向量中难求点的应对转化策略
线代基础
2022-08-26刷题一周感悟——刻意练习的效果
单调性和奇偶性
unity shader 进阶
十、OpenGL中的向量、矩阵、矩阵堆栈
绪论
向量の终极坐标法
空间向量相关问题

坐标法在向量中的应用

坐标的引入使向量真正成为数形结合的载体，它可以让向量运算完全代数化，把关于向量的代数运算与数量（向量的坐标）的代数运算联系起来，从而把数与形紧密结合起来，这样很多几何问题，就转化为我们熟悉的数量的运算. 在高考选择题和填空题中经常出现，其试题难度属中高档题.

使用情景：一般平面向量
解题步骤：
第一步利用已知条件建立适当的直角坐标系并写出各点的坐标；
第二步将几何问题转化为平面向量的运算并进行求解；
第三步得出结论.
【例1】已知 $\overrightarrow{AB}\perp\overrightarrow{AC}$ ， $\Bigg|\overrightarrow{AB}\Bigg|=\dfrac{1}{t}$ ， $\Bigg|\overrightarrow{AC}\Bigg|=t$ ，若 $P$ 点是 $\triangle ABC$ 所在平面内一点，且 $\overrightarrow{AP}=\dfrac{\overrightarrow{AB}}{\Bigg|\overrightarrow{AB}\Bigg|}+\dfrac{4\overrightarrow{AC}}{\Bigg|\overrightarrow{AC}\Bigg|}$ ，则 $\overrightarrow{PB} \cdot \overrightarrow{PC}$ 的最大值等于（）
A．13 B．15 C．19 D．21
【解析】以 $A$ 为坐标原点，建立平面直角坐标系，如图所示，

则 $B\left(\dfrac{1}{t},0\right)$ ， $C(0,t)$ ， $\overrightarrow{AP}=(1,0)+4(0,1)=(1,4)$ ，
即 $P(1,4)$

所以 $\overrightarrow{PB}=\left(\dfrac{1}{t}-1,-4\right)$ ， $\overrightarrow{PC}=\left(-1,t-4\right)$ ，

因此 $\overrightarrow{PB} \cdot \overrightarrow{PC}=1-\dfrac{1}{4}-4t+16=17-\left(\dfrac{1}{t}+4t\right)$

因为 $\dfrac{1}{t}+4t \geqslant 2\sqrt{\dfrac{1}{t}\cdot 4t}=4$

所以 $\overrightarrow{PB} \cdot \overrightarrow{PC}$ 的最大值等于 $13$ ，

当 $\dfrac{1}{t}=4t$ 即 $t=\dfrac{1}{2}$ 时取等号．

【总结】将平面向量数量积用坐标表示，从而转化为代数运算，进而用不等式知识求解。

【例2】已知 $AB$ 是圆 $C:(x-1)^2+y^2=1$ 的直径，点 $P$ 为直线上任意一点，则 $\overrightarrow{PA} \cdot \overrightarrow{PB}$ 的最小值是（）
A． $\sqrt{2}-1$ B． $\sqrt{2}$ C． $0$ D． $1$
【答案】D
【解析】

设 $A(0,0)$ ， $B(2,0)$ ， $P(x,y)$ ， $\overrightarrow{PA}=(-x,-y)$ ， $\overrightarrow{PB}=(2-x,-y)$

所以 $\overrightarrow{PA} \cdot \overrightarrow{PB}=x(x-2)+y^2$

$=x(x-2)+(x+1)^2$

$=2x^2+1$ ，

所以最小值是1，故选D.

【总结】本题主要考察了向量数量积的坐标表示，属于基础题型，用向量法解决一些简单的平面几何问题时，有坐标系，可直接设点的坐标，代入数量积的坐标表示，转化为坐标法解决问题，如果没有坐标系，可根据图像建立坐标系，再转化为数量积的坐标表示问题.

【例3 】在等腰直角 $\triangle ABC$ 中， $\angle ABC=90^\circ$ ， $AB=BC=2$ ， $M$ 、 $N$ 为 $AC$ 边上两个动点，且满足 $|MN|=\sqrt{2}$ ，则 $\overrightarrow{BM} \cdot \overrightarrow{BN}$ 的取值范围为 .
【解析】

如图，分别以 $BC$ ， $BA$ 所在边的直线为 $x$ 轴, $y$ 轴建立直角坐标系,

则 $A(0,2)$ , $B(0,0)$ , $C(2,0)$ ,直线 $AC$ 的方程为 $x+y-2=0$ ，

设 $M(t,2-t)$ ， $N(t+1,1-t)$ ,则 $0 \leqslant t \leqslant 1$ ,

所以 $\overrightarrow{BM}=(t,2-t)$ , $\overrightarrow{BN}=(t+1,1-t)$ ,

$\therefore \overrightarrow{BM} \cdot \overrightarrow{BN}=t(t+1)+(2-t)(1-t)=2\left(t-\dfrac{1}{2}\right)^2+\dfrac{3}{2}$

由于 $0 \leqslant t \leqslant 1$ ,所以当 $t=\dfrac{1}{2}$ 时有最小值为 $\dfrac{3}{2}$ ,

$t=0$ 或 $t=1$ 时有最大值为 $2$ ,

故答案为 $\left[\dfrac{3}{2},2\right]$ .

【总结】本题主要考查平面向量数量积的坐标运算,属于中档题. 在本题中,由于 $\triangle ABC$ 是等腰直角三角形,且 $AB=BC=2$ ,所以想到建立直角坐标系,写出各点坐标,能够减少计算量,

易错的地方:参数 $t$ 的范围. 根据 $M$ 、 $N$ 点的坐标,且在第一象限,所以 $0 \leqslant t \leqslant 1$ , 计算结果是关于 $t$ 的二次函数,由参数 $t$ 的范围求出 $\overrightarrow{BM} \cdot \overrightarrow{BN}$ 的取值范围.

怎么利用坐标法解向量相关的问题？
坐标的引入使向量真正成为数形结合的载体，它可以让向量运算完全代数化，把关于向量的代数运算与数量（向量的坐标）的代数...
表征模式13:空间向量中难求点的应对转化策略
法一:F点坐标不用求，直接利用向量运算求出向量DF 法二:求出F点坐标(麻烦点)
线代基础
向量向量组相关，齐次方程=0 向量组和另一个向量相关，有非零解秩
2022-08-26刷题一周感悟——刻意练习的效果
坦白讲，这一周我做了一周向量的题目。关于向量的运算，向量法证明的所有问题。有时候是建立坐标系没有恰当带来的运算...
单调性和奇偶性
概述单调性相关问题利用函数的单调性解不等式相关问题 1 2 例题1 例题2 利用函数的单调性求函数的最值利用...
unity shader 进阶
一.法向量与光照计算: 1.计算法向量:(U,V的顺序相当重要,取决于坐标系类型,这里为左手坐标系,即将左手大拇指...
十、OpenGL中的向量、矩阵、矩阵堆栈
1. 向量 1.1 向量相关概念向量：在 3D 笛卡尔坐标系中，一个由 x、y、z组成的顶点就是一个向量单位向...
绪论
有限维空间先从原来的四维空间看问题：坐标系内积（空间向量与坐标轴（单位向量）的内积表示在该坐标轴上的投影） ...
向量の终极坐标法
Timoの1 Timoの2 Timoの3 Timoの4 Timoの5 \ Timoの6
空间向量相关问题
一、相关知识点二、各类题型准备工作：求平面的法向量类型一证明问题类型二角度问题类型三距离问题类型四探索问题