怎么利用坐标法解向量相关的问题？

作者: 天马无空 | 来源:发表于2020-08-13 21:42 被阅读0次

坐标法在向量中的应用

坐标的引入使向量真正成为数形结合的载体，它可以让向量运算完全代数化，把关于向量的代数运算与数量（向量的坐标）的代数运算联系起来，从而把数与形紧密结合起来，这样很多几何问题，就转化为我们熟悉的数量的运算. 在高考选择题和填空题中经常出现，其试题难度属中高档题.

使用情景：一般平面向量
解题步骤：
第一步利用已知条件建立适当的直角坐标系并写出各点的坐标；
第二步将几何问题转化为平面向量的运算并进行求解；
第三步得出结论.
【例1】已知 $\overrightarrow{AB}\perp\overrightarrow{AC}$ ， $\Bigg|\overrightarrow{AB}\Bigg|=\dfrac{1}{t}$ ， $\Bigg|\overrightarrow{AC}\Bigg|=t$ ，若 $P$ 点是 $\triangle ABC$ 所在平面内一点，且 $\overrightarrow{AP}=\dfrac{\overrightarrow{AB}}{\Bigg|\overrightarrow{AB}\Bigg|}+\dfrac{4\overrightarrow{AC}}{\Bigg|\overrightarrow{AC}\Bigg|}$ ，则 $\overrightarrow{PB} \cdot \overrightarrow{PC}$ 的最大值等于（）
A．13 B．15 C．19 D．21
【解析】以 $A$ 为坐标原点，建立平面直角坐标系，如图所示，

则 $B\left(\dfrac{1}{t},0\right)$ ， $C(0,t)$ ， $\overrightarrow{AP}=(1,0)+4(0,1)=(1,4)$ ，
即 $P(1,4)$

所以 $\overrightarrow{PB}=\left(\dfrac{1}{t}-1,-4\right)$ ， $\overrightarrow{PC}=\left(-1,t-4\right)$ ，

因此 $\overrightarrow{PB} \cdot \overrightarrow{PC}=1-\dfrac{1}{4}-4t+16=17-\left(\dfrac{1}{t}+4t\right)$

因为 $\dfrac{1}{t}+4t \geqslant 2\sqrt{\dfrac{1}{t}\cdot 4t}=4$

所以 $\overrightarrow{PB} \cdot \overrightarrow{PC}$ 的最大值等于 $13$ ，

当 $\dfrac{1}{t}=4t$ 即 $t=\dfrac{1}{2}$ 时取等号．

【总结】将平面向量数量积用坐标表示，从而转化为代数运算，进而用不等式知识求解。

【例2】已知 $AB$ 是圆 $C:(x-1)^2+y^2=1$ 的直径，点 $P$ 为直线上任意一点，则 $\overrightarrow{PA} \cdot \overrightarrow{PB}$ 的最小值是（）
A． $\sqrt{2}-1$ B． $\sqrt{2}$ C． $0$ D． $1$
【答案】D
【解析】

设 $A(0,0)$ ， $B(2,0)$ ， $P(x,y)$ ， $\overrightarrow{PA}=(-x,-y)$ ， $\overrightarrow{PB}=(2-x,-y)$

所以 $\overrightarrow{PA} \cdot \overrightarrow{PB}=x(x-2)+y^2$

$=x(x-2)+(x+1)^2$

$=2x^2+1$ ，

所以最小值是1，故选D.

【总结】本题主要考察了向量数量积的坐标表示，属于基础题型，用向量法解决一些简单的平面几何问题时，有坐标系，可直接设点的坐标，代入数量积的坐标表示，转化为坐标法解决问题，如果没有坐标系，可根据图像建立坐标系，再转化为数量积的坐标表示问题.

【例3 】在等腰直角 $\triangle ABC$ 中， $\angle ABC=90^\circ$ ， $AB=BC=2$ ， $M$ 、 $N$ 为 $AC$ 边上两个动点，且满足 $|MN|=\sqrt{2}$ ，则 $\overrightarrow{BM} \cdot \overrightarrow{BN}$ 的取值范围为 .
【解析】

如图，分别以 $BC$ ， $BA$ 所在边的直线为 $x$ 轴, $y$ 轴建立直角坐标系,

则 $A(0,2)$ , $B(0,0)$ , $C(2,0)$ ,直线 $AC$ 的方程为 $x+y-2=0$ ，

设 $M(t,2-t)$ ， $N(t+1,1-t)$ ,则 $0 \leqslant t \leqslant 1$ ,

所以 $\overrightarrow{BM}=(t,2-t)$ , $\overrightarrow{BN}=(t+1,1-t)$ ,

$\therefore \overrightarrow{BM} \cdot \overrightarrow{BN}=t(t+1)+(2-t)(1-t)=2\left(t-\dfrac{1}{2}\right)^2+\dfrac{3}{2}$

由于 $0 \leqslant t \leqslant 1$ ,所以当 $t=\dfrac{1}{2}$ 时有最小值为 $\dfrac{3}{2}$ ,

$t=0$ 或 $t=1$ 时有最大值为 $2$ ,

故答案为 $\left[\dfrac{3}{2},2\right]$ .

【总结】本题主要考查平面向量数量积的坐标运算,属于中档题. 在本题中,由于 $\triangle ABC$ 是等腰直角三角形,且 $AB=BC=2$ ,所以想到建立直角坐标系,写出各点坐标,能够减少计算量,

易错的地方:参数 $t$ 的范围. 根据 $M$ 、 $N$ 点的坐标,且在第一象限,所以 $0 \leqslant t \leqslant 1$ , 计算结果是关于 $t$ 的二次函数,由参数 $t$ 的范围求出 $\overrightarrow{BM} \cdot \overrightarrow{BN}$ 的取值范围.

怎么利用坐标法解向量相关的问题？

相关文章

网友评论

延伸阅读

深度阅读

栏目导航

热点阅读