9.《唐彩斌与能力为重的小学数学》读书笔记3

        两个看似简单却又困扰很多老师的问题？

    在阅读《发展数学能力的教学策略》之“如何发展学生运算能力”一章中，唐老师谈到了“不同数域运算能力中需要说明的若干“算理””，其中几个看似简单，但很多老师一时又难以回答的算理问题。诸如：整数四则运算顺序，为什么有时从低位算起，有时从高位算起？小数四则运算中，数位为什么有时要对齐，有时不要对齐？问题虽小，但老师们真想弄明白还需要从数学史和数学问题本质去理解。

整数四则运算顺序，为什么有时从低位算起，有时从高位算起？

    从数学史中可以发现，在笔算形成的初期，加减乘除都是从高位算起的，只是笔算的加减计算和乘法计算遇到进位时，需要改写前面的数字，才逐步改为低位算起。12世纪印度沙盘上的数学就是如此。因此在课堂教学中，学生顺延着从高到的计算顺序是完全可以理解的，只有让学生经历从高位算起，感受因低位的进位要调整高位的数而带来的麻烦，才会得到从高位算起的深切体验，而不需要强制加以“规定”，这样的法才是“理”之下学生愿意接受的“法”。

  整数的加、减、乘三种运算在列竖式计算时，一般都是从低位算起，偏偏除法又变得特殊了，除法竖式的格式本身也和其他三种运算不太一致・这些外形的不同都源自除法本身的意义和竖式的要求。如果我们把乘法定义为连加，那么除法就是连减了。竖式计算的实质，是将当前对于两个数的计算归结为它们各个数位上数的计算，以求出得数的各个数位上的数。要把计算的中间过程与最后的结果都记录下来，除法的竖式发展到今天就是从高位算起了，如果从低位除起，那么高位除后余下的数到低位继续除，就影响原来低位上的商，自然增加了高位有余退位后再除的麻烦。所以除法竖式求商一般从高位算起，从高位到低位，依次求出商的每一位上的数，这样既简洁又方便。

小数四则运算中，数位为什么有时要对齐，有时不要对齐？

  小数的出现，是基于十进制表示数量的蛋要，它的计数原则与整数的计数原则相同、所以小数四则运算很大程度上仿照整数四则运算进行。就像整数的四则运算强调数位对齐，小数加减法也一样，需要把数位对齐，显著的标志是小数点对齐。但这个看上去顺理成章的潜规则。在小数乘法里就遭遇了“负迁移”。为什么小数乘法不要数位对齐，只要把末尾对齐就可以了?比如：2.3×7中的7为什么要和3对齐?应用积的变化规律。如果先把2.3看成23，那么学生就能理解7是要和3对齐的了，只不过算出的结果是161个0.1。小数乘小数也一样，3.25乘0.2，就是先把它看成325乘2，所以竖式中只要本尾对齐，其实也就是整数计算中的数位对齐，得出结果650，但这是650个0.001，所以正确结果是0.65。在教学中，也可以借助横式来沟通竖式的算理。可以先让学生充分理解0.1×0.1＝0.01的意义，进而理解0.3×0.2=2×3×0.1×0.1＝0.06的意义，再讨论3.25×0.2=325×2×0.01×0.1，大部分学生应该能够逐步理解。