2023-02-04

作者: 悟空金月饺子 | 来源:发表于2023-02-03 12:55 被阅读0次

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2023-02-04
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最近组里讨论了generalied symmetry。最开始的工作可能是14年左右提出的higher-form symmetry。这个还好，对称性还是由李代数来描述的，只不过charge的维度变了。后来的对称性的推广，可能就不是李代数可以描述的了，最近研究也比较多，今年的tasi也是这个topic，有机会再看一看。

这次我们只讨论了higher-form symmetry。

可能最好理解的是连续对称性，因为他对应守恒流，还有守恒荷。
通常的情况，想要知道守恒流的具体形式，需要知道理论的作用量，还有具体对称操作是什么样的，比如对称性是怎么作用在local operator $\Phi_i$ 上的。
知道操作形式，等价的定义了Ward Identity。比如如果对称变换是
$\Phi^i\rightarrow M^i_j \Phi^j$
那么对应的守恒流的Ward Identity是

$\langle \partial_\mu j^\mu(x) \Phi^i(y)\rangle=\delta(x-y)M^i_j \langle \Phi^j(y)\rangle$
对Ward Identity在一个时空区域 $V$ 积分，等式左边用高斯定理得到
$\langle Q \Phi^i\rangle,\quad Q=\int_{\partial V=\Sigma}dS_\mu j^\mu$
由于delta函数，如果 $\Phi^i(y)$ 不在 $V$ 里面，那么等式右边为0。从 $Q$ 定义可以看出来，它等于通过 $\Sigma$ 总的flux，由于流守恒，这个总的flux不会改变当我们微小地改变 $V,\Sigma$ 的时候。所以我们可以说 $Q(\Sigma)$ 是一个拓扑算符。因为 $\Sigma$ 是一个codimension-1的面，这种我们熟悉的对称性被称为0-form symmetry因为对应带电物体是一个点电荷，对应的flux是dimension=1 的向量场。

很自然我们可以推广，可以考虑一种对称性，它对应的flux不是1维的，比如是二维的，也就是说的current有两个分量 $j_{\mu\nu}$ , 那么要计算总的flux就要在一个codimenision-2的面是积分，带电的物体就相应的是一个1维的线电荷。注意这些higher-form symmetry 也是正常的，通常由李代数来描述的，也就是说对应同样的李代数的0-form 和n-form symmetry，在Ward Identity里面的 $M^i_j$ 是同样的，只不过对于n-form symmetry delta function要变成相应的高维的推广：linking number。但是n-form symmetry 都是abelian 的。

可能对于higher-form symmetry比较难理解的地方是，通常我们先找到了一个高价的守恒流，这只是一个数学等式。然后我们要去找：他作用在什么object上面？还有他对应的对称群是什么？
可能还有一个困惑是，说他是对称性，那么他保持什么东西不变了？因为他不直接作用在场上面，所以这个对称性和拉氏量是无关的。可能能说的还是它对应了一个Ward Identity。