线性变换和矩阵

作者: IntoTheVoid | 来源:发表于2018-12-01 16:49 被阅读10次

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什么是矩阵？

矩阵是一个二维数组，和向量包含的元素一样。

矩阵可以包含 m行和 n列。如果矩阵包含 $m$ 行和 $n$ 列，则称之为 $m$ x $n$ 矩阵。

我们来看看以下方程中的矩阵 $A$ ：
$A= \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} & .. & a_{1n}\\ a_{21} & a_{22} & a_{23} & .. & a_{2n}\\ a_{31} & a_{32} & a_{33} & .. & a_{3n}\\ :&:& :&:&:\\ a_{m1} & a_{m2} & a_{m3} & .. & a_{mn}\\ \end{bmatrix} \tag{1}$

矩阵中的每个元素 $a_{ij}$ 都是在行 $i$ 和列 $j$ 中显示的数字值。

image.png

矩阵加法

要将一个矩阵与另一个矩阵相加，我们需要：

验证确保两个矩阵的维度相同
按照相应的正确索引将元素相加

我们通过一个示例来理解这方面的要求：
我们将侧重于在方程 1 中看到的随机矩阵：
$A= \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} & .. & a_{1n}\\ a_{21} & a_{22} & a_{23} & .. & a_{2n}\\ a_{31} & a_{32} & a_{33} & .. & a_{3n}\\ :&:& :&:&:\\ a_{m1} & a_{m2} & a_{m3} & .. & a_{mn}\\ \end{bmatrix} \tag{1}$

线性变换

$\vec{v} = -1\vec{i}+2\vec{j}$

假设 $\displaystyle \vec{i} = \begin{bmatrix}1\\0\end{bmatrix}, \vec{j}=\begin{bmatrix}0\\1\end{bmatrix}$ 经某种变换后

$transformed\ \vec{v}= -1(transformed\ \vec{i}) + 2(transformed\ \vec{j})$

只需求出变化后的 $\vec{i}, \vec{j}$ ,即可求出变换后的 $\vec{v}$

变化后的 $\displaystyle\vec{i} = \begin{bmatrix}1\\-2\end{bmatrix}, \vec{j}=\begin{bmatrix}3\\0\end{bmatrix}$

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