语言
现代逻辑学起源于17世纪法国数学家莱布尼兹提出的通用语言思想，他认为人们在为一个问题争论不止的时候，可能并不是这个问题没有答案，而是因为大家就算在说同样的语言，但是其背后表达的意思却不一样。因此他期望能够创造出一种语言，使得表达不再有歧义，那样所有的争端最终都会有答案。这就引申出现代逻辑学中最关键的两个概念：语形（syntax）和语义（semantic）。
在阅读一些英文资料的时候我常常会遇到一些在英文中人们经常使用的词汇或是语法，而如若将这些词汇或语法翻译成中文却无法找到自然的对应。例如，其中最常见的区别之一就是时态问题。英文中的时态是必须要严格保证正确的，即使在日常对话中也不能随意否则就可能会词不达意，而在中文中则基本没有严格的关于时态用法的限定。
但是，这并不妨碍我们理解隐藏在语言背后的那些我们认真想表达的意思。如果一个人既懂得英语又懂得中文，那么在他看来下面这两句话表达的就是一样的意思：
“我已经在这里住了十年。”
“I have been living here for ten years.”
单单从符号上来看，这两个句子天差地别，如果我们让一个对中文和英文都一无所知的人来看这两句话，他一定不会认为它们是一样的东西，这样一种符号上的差异在往往被称之为语形上的差异。但是如我们所知它们所表达的其实是同一个意思，或者说，这两句话在我们地大脑中似乎能够产生同样的映像，例如关于在房子里生活了十年的种种情形的生活画面。由于它们让我们在大脑中产生了同样的画面，那么我们可以说它们有着一样的语义。
在逻辑学研究上，人们经常要把语形和语义剥离，从而可以创造出那些能够更准确、更完备的表达我们大脑中映像的语言。
语形
对计算机编程比较熟悉的人其实每天都在和语形的概念打交道。语形系统规定了语言的符号长什么样子，什么形式是合理的（就像在编程语言中我们连一个分号，甚至有时候连空格都不能打错），并且这些符号可以如何进行运算，但是在没有赋予语义之前，我们可以认为这些符号只是空壳，它们不表达任何意思。来看下面的一个语形系统。
p1、p2……pN是一个合理的表达式(N可以取任何自然数)。
如果p1是合理的表达式，那么~p1是合理的表达式。
如果p1、p2都是合理的表达式，那么p1->p2也是合理的表达式。
括号()规定了运算的优先级。
所有语形系统的运算都要在合理表达式上进行，并且从以下三个公理之一出发。
（1）p1->(p2->p1)
（2）(p1->(p2->p3))->((p1->p2)->(p1->p3))
（3）(~p1->~p2)->((~p1->p2)->p1)
在以上公理中，相同的pN可以统一替换成任意的其他pM，如公理一也可以写为：
p3->(p4->p3)
运算规则只有一个：
（MP）如果我们能得到p->q，且能得到p，那么我们可以得到q。
举一个例子，基于以上语形系统的一个运算可以得到以下的结论：
结论：p1->p1
运算：
（1）p1->((p1->p1)->p1) [公理1+替换p2为p1->p1]
（2）(p1->((p1->p1)->p1))->((p1->(p1->p1))->(p1->p1)) [公理2+替换p2为(p1->p1)，替换p3为p1]
（3）((p1->(p1->p1))->(p1->p1)) [(1)、（2）和MP运算]
（4）p1->(p1->p1) [公理1+替换p2为p1]
（5）p1->p1 [(3)、（4）和MP运算]
以上，我们严格按照语形系统给定的规则运算得到了我们想要的结论。实际上，上面的语形是逻辑学中最基础的语形系统——命题逻辑系统。这些语形规则大多来源于人们进行理性推理时的规则。例如，公理（1）实际表达的是，如果我们知道一个结论永远是对的，那么无论我们给定什么样的限制条件，它都是对的。再例如，MP规则说的是如果我们知道“如果A是对的那么B是对的”和“A是对的”，那么我们也知道“B是对的”。基于这种严格规则的推导，我们最终可以保证得到的结论在理性上是绝对正确的。当然，在语形系统中我们是把这些人们熟知的推导规则抽象了出来，我们只需要关注规则本身即可。
语义、一致性和完全性
建立语形系统的工作完成后，我们就可以为其赋予语义了。例如，我们可以给合理表达式的p1赋予任何我们想要的命题语义如：“今天不下雨”、“这个程序在运行100步后死机”……。唯一的要求是，这些表达式必须是真的或者是假的。例如，为p1赋予“我们去骑单车吧”这样的语义是不被允许的，因为这句话不是对的也不是错的。
在给定想要的语义之后，如果我们能够保证这个语形系统满足两条性质，那么不管我们问它任何问题，它最终总是能够告诉我们正确的答案。这就是一致性和完全性。
一致性说的是：凡是语形系统能够推出的结论在语义上必定是真的。
完全性说的是：凡是语义上为真的命题必定能够被语形系统所推出。
证明语形系统的一致性一般来说是一个简单的活儿，但是证明完全性则要困难得多，往往需要许多艰难的数学技巧。但是不管怎么样，只要整出来了，基于语形系统的这种机械的推导的运算都可以交由计算机完成，这也是在机器学习爆发前绝大多数希望做出人工智能的人们努力的方向：由逻辑学家做出能够解决所有智能问题的通用语形系统，剩下的似乎就可以全部交给计算机去完成了，人们终将彻底摆脱繁重的脑力劳动。
……
当然，有这种梦想的人最终都被宇宙之神狠狠地扇了一耳光，在探索智慧本身的路上，我们的还有太长的路要走。
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