
学习高等代数,飞跃人生迷雾。大家好,我是乐乐老师,今天我们学习数的发展与数域的定义。
由本节课的名字很容易知道,这一节分为数的发展和数域的定义两个部分。
数的发展是一个非常漫长的过程,期间也发生了很多很多的故事。
我们的祖先努力狩猎,废寝忘食,显示了他们卓越的聪明才智。今天打了多少猎物呢?一只小狗,(学生:老师,是小鹿),老师说的就是小鹿,两只小鹿,三只小鹿,四只小鹿。扳着指头数一数,自然数便自然而然的产生了。
值得一提的是,在乐乐老师上学的时候,自然数是不包括零的。为了与国际接轨,1993年我国颁布了新的国家标准,零进入了自然数的大家庭。
自然数都是大于等于0的。而公元7世纪,古印度数学家婆罗摩笈多在其名著《婆罗摩修正体系》中提及了负数,也就是小于零的数。其实,早在公元二世纪,我国在西汉时期就已经用红筹表示正系数,用黑筹表示负系数。这样自然数加上负整数就构成了所有的整数。
对于整数来说,很显然,整数加上整数还是整数,整数减去整数也是整数,整数乘以整数也还是整数。数学中称这样的性质为封闭性。
严格来说,若一个非空集合A中有一个运算,对于A中的任意两个元素,运算结果都仍在A中,则称集合A关于这一运算是封闭的。
我们可以说整数集关于加法,减法和乘法都是封闭的,那么当除数不为零时对于除法来说是不是封闭的呢?显然不是。整数除以非零整数得到的是有理数。
我们可以说有理数是整数和分数的统称。也可以说,有理数是可表示为一个整数和一个非零整数之比的数。
我们知道,rational( /'ræʃ(ə)n(ə)l/ )意思是“合理的,理性的”,那么有理数就是有道理的数吗?非也。有理数的词根是ratio( /'reɪʃɪəʊ/ ),意思是比率,所以rational一词的来源还是“两整数之比”,只不过翻译的时候,几经辗转,以讹传讹,最后翻译成了“有理数”。
对于有理数集来说,显然对加减乘除四个运算都是封闭的。古希腊的数学家哲学家毕达哥拉斯对有理数情有独钟,他所创立的毕达哥拉斯学派的教义就是万物皆数,而这里的数就是有理数。作为古希腊众多哲学家中为数不多的数学家,乐乐老师忍不住想对他说,老毕,你真有才。
毕达哥拉斯学派低调神秘,却想不到在内部出现了问题。学派中一个叫希帕索斯的弟子发现,一个直角边长为1的等腰直角三角形,它的斜边的长度不能用两个整数之比来表示,也就是说这个数不是有理数。这一发现对于宣称万物皆有理数的毕达哥拉斯学派来说,不啻于五雷轰顶。
从此人们知道,除了有理数,我们的世界中还存在一种数叫做无理数。而实数集就是全体有理数加上全体无理数组成的集合。乐乐老师还想对老毕说一句,被自己的学生超越,不丢人。
时间来到16世纪,意大利人卡尔达诺出版了自己的著作《大术》,披露了一元三次方程的求解公式,在证明过程中他发现即使一个一元三次方程的根全都是实数根,利用三次方程的求根公式去求得这些根的过程中,也可能会不得不面临对负数开平方的运算。你不是在开玩笑吧?要我对负数开平方。
卡尔达诺本人也很困惑,于是给这些数起了个名字叫虚构的数,也就是我们说的虚数。如今我们将实数与虚数合称为复数。说实话,的确有点复杂了。
但是复杂并不能阻挡我们对未知领域的探索,有没有更高维的数呢?有,那就是四元数。可惜四元数不满足乘法的交换律。所以我们的讨论就到复数为止。
通常来说,自然数集用大N表示,正整数集我们可以用大N星或大N正来表示,其中N星的意思是N这个集合中去掉零元素。
而整数集通常用大Z来表示,有理数集用大Q来表示,实数集用大R来表示,复数集用大C来表示。
现在我们重点关注一下有理数集,实数集和复数集,看看他们有哪些共同的性质,尝试自己归纳出数域的定义。
容易发现减去一个数相当于加上这个数的相反数,而除以一个数相当于乘以这个数的倒数。所以我们可以选择加法和乘法作为四则运算的代表来讨论。
首先,三个数集对加法和乘法都具有封闭性。而且,都满足交换律和结合律。对于加法来说有一个特殊的数零,零加上任何的数a都等于a本身,而1对于乘法来说也具有类似的特点。我们将0和1称为对于加法和乘法来说的单位元。对于加法来说,任一数a都有一个相反数-a,a与负a相加得加法单位元零。对于乘法来说,任一非零数a都有一个倒数1/a,a与1/a相乘得乘法单位元1。我们又将-a与1/a称为a对于加法和乘法来说的逆元。最后加法和乘法还满足分配律。
数学中称有加法和乘法运算,并满足这些性质的集合为一个域。所以有理数集,实数集和复数集又称为有理数域,实数域和复数域。
容易发现,定义中的集合P没有要求一定是数集,也就是说,这是一个一般的域的定义。这个定义显得有些复杂,那么如果我们面对的仅仅是数集所构成的数域,定义是否可以简化一些呢?
对数域作定义,首先域改为数域,集合改为数集。数集中自然有加法和乘法,不用另行说明。
我们讨论的最大范围为复数集,所以数集中的加法和乘法运算,都满足交换律,结合律和分配律,也不用再另行说明。
刚才说了,加法和乘法运算不另行说明,所以“两个运算”4个字可以去掉。而数域中要包含加法和乘法的单位元0和1,所以两个运算不妨改为0和1。
最后来看封闭性和逆元的存在性。因为数域中包含0,而-a又等于0减去a,所以只要减法满足封闭性,加法逆元就一定存在。同样地,只要除法满足封闭性,非零数对于乘法的逆元也一定存在。所以加法,乘法的封闭性与逆元的存在性可以用一句话来概括,那就是对于加,减,乘,除都满足封闭性。
这样数域的定义我们就构造完毕了,那就是,
一个数域就是一个含0和1的数集P,满足P中任意两个数的和,差,积,商仍然是P中的数,这两个数可以相同,而且做商的时候除数不能为0。
double完美。
最后留给大家两个思考题:
如何证明根号2是无理数?根号3呢?根号5呢?
整数集的符号为什么不是integer的首字母i而是z?有理数集的符号为什么不是rational的首字母r而是q?
大家在课前思考一下,上课的时候你可以告诉我答案哦!
好了,数的发展和数域的定义,我们就讲到这里,拜拜~
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