高等代数理论基础39：维数·基与坐标

作者: 溺于恐 | 来源:发表于2019-02-05 07:44 被阅读24次

维数·基与坐标

线性组合

定义：设V是数域P上的一个线性空间, $\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_r(r\ge 1)$ 是V中一组向量, $k_1,k_2,\cdots,k_r$ 是数域P中的数,则向量 $\alpha=k_1\alpha_1+k_2\alpha_2+\cdots+k_r\alpha_r$ 称为向量组 $\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_r$ 的一个线性组合,此时也称向量 $\alpha$ 可用向量组 $\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_r$ 线性表出

等价

设 $\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_r$ , $\beta_1,\beta_2,\cdots,\beta_s$ 是V中两个向量组,若前者每个向量都可用后者线性表出,则称前者可用后者线性表出,若两向量组可互相线性表出,则称它们等价

线性相关

对线性空间V中向量 $\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_r(r\ge 1)$ ,若在数域P中有r个不全为零的数 $k_1,k_2,\cdots,k_r$ 使 $k_1\alpha_1+k_2\alpha_2+\cdots+k_r\alpha_r=0$ ,则称 $\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_r$ 线性相关,若 $\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_r$ 不线性相关,则称为线性无关,即仅在 $k_1=k_2=\cdots=k_r=0$ 时 $k_1\alpha_1+k_2\alpha_2+\cdots+k_r\alpha_r=0$ 成立

常用结论

1.单个向量 $\alpha$ 线性相关 $\Leftrightarrow \alpha=0$

2.两个以上的向量 $\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_r$ 线性相关 $\Leftrightarrow$ 其中有一个向量是其余向量的线性组合

3.若向量组 $\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_r$ 线性无关,且可被 $\beta_1,\beta_2,\cdots,\beta_s$ 线性表出,则 $r\le s$

4.两个等价的线性无关的向量组必含有相同个数的向量

5.若向量组 $\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_r$ 线性无关,向量组 $\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_r,\beta$ 线性相关,则 $\beta$ 可被 $\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_r$ 线性表出,且表示法唯一

维数

定义：若在线性空间V中有n个线性无关的向量,但没有更多数目的线性无关的向量,则V称为n维的,若在V中可以找到任意多个线性无关的向量,则V称为无限维的

例：

1.几何空间中向量所成的线性空间是3维的

2.n元数组所成的线性空间是n维的

3.所有实系数多项式所成的线性空间是无限维的

( $\forall n$ ,有n个线性无关的向量 $1,x,\cdots,x^{n-1}$ )

注：无限维空间与有限维空间有较大差别,但线性表出、线性相关、线性无关等性质,只要不涉及维数和基,则都成立

基

定义：在n维线性空间V中,n个线性无关的向量 $\varepsilon_1,\varepsilon_2,\cdots,\varepsilon_n$ 称为V的一组基,设 $\alpha$ 是V中任一向量,则 $\varepsilon_1,\varepsilon_2,\cdots,\varepsilon_n,\alpha$ 线性相关,故 $\alpha$ 可被 $\varepsilon_1,\varepsilon_2,\cdots,\varepsilon_n$ 线性表出, $\alpha=a_1\varepsilon_1+a_2\varepsilon_2+cdots+a_n\varepsilon_n$ ,其中系数 $a_1,a_2,\cdots,a_n$ 被向量 $\alpha$ 和基 $\varepsilon_1,\varepsilon_2,\cdots,\varepsilon_n$ 唯一确定,这组数称为 $\alpha$ 在基 $\varepsilon_1,\varepsilon_2,\cdots,\varepsilon_n$ 下的坐标,记作 $(a_1,a_2,\cdots,a_n)$

定理：若在线性空间V中有n个线性无关的向量 $\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_n$ ,且V中任一向量都可用它们线性表出,则V是n维的, $\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_n$ 就是V的一组基

证明：

$\because \alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_n线性无关$

$\therefore V的维数至少是n$

$要证V是n维的$

$只需证V中任意n+1个向量必线性相关$

$设\beta_1,\beta_2,\cdots,\beta_{n+1}是V中任意n+1个向量$

$它们可用\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_n线性表出$

$若它们线性无关,则n+1\le n,矛盾$

$\therefore 任意n+1个向量必线性相关\qquad\mathcal{Q.E.D}$

例：在线性空间 $P[x]_n$ 中, $1,x,x^2,\cdots,x^{n-1}$ 是n个线性无关的向量,且每个次数小于n的数域P上的多项式都可被它们线性表出,故 $P[x]_n$ 是n维的,而 $1,x,x^2,\cdots,x^{n-1}$ 即为它的一组基,在这组基下,多项式 $f(x)=a_0+a_1x+\cdots+a_{n-1}x^{n-1}$ 的坐标即为它的系数 $(a_0,a_1,\cdots,a_{n-1})$

若在V中取另一组基 $\varepsilon'_1=1,\varepsilon'_2=x-a,\cdots,\varepsilon'_n=(x-a)^{n-1}$ ,则按照泰勒展开公式 $f(x)=f(a)+f'(a)(x-a)+\cdots+{f^{n-1}\over (n-1)!}(x-a)^{n-1}$ ,故f(x)在基 $\varepsilon'_1,\varepsilon'_2,\cdots,\varepsilon'_n$ 下的坐标为 $(f(a),f'(a),\cdots,{f^{(n-1)}(a)\over (n-1)!})$

例：在n维空间 $P^n$ 中,显然 $\begin{cases}\varepsilon_1=(1,0,\cdots,0)\\ \varepsilon_2=(0,1,\cdots,0)\\ \cdots\\ \varepsilon_n=(0,0,\cdots,1)\end{cases}$ 是一组基,对每一向量 $\alpha=(a_1,a_2,\cdots,a_n)$ 都有 $\alpha=a_1\varepsilon_1+a_2\varepsilon_2+\cdots+a_n\varepsilon_n$ ,故 $(a_1,a_2,\cdots,a_n)$ 为向量 $\alpha$ 在这组基下的坐标

$\begin{cases}\varepsilon'_1=(1,1,\cdots,1)\\ \varepsilon'_2=(0,1,\cdots,1)\\ \cdots\\ \varepsilon'_n=(0,0,\cdots,1)\end{cases}$ 也为 $P^n$ 的一组基,在这组基下,对向量 $\alpha=(a_1,a_2,\cdots,a_n)$ 有 $\alpha=a_1\varepsilon'_1+(a_2-a_1)\varepsilon'_2+\cdots+(a_n-a_{n-1})\varepsilon'_n$ ,故 $\alpha$ 在这组基下的坐标为 $(a_1,a_2-a_1,\cdots,a_n-a_{n-1})$

例：将复数域K看作自身上的线性空间,则它是一维的,数1即为一组基,若看作是实数域上的线性空间,则它是二维的,数1与i即为一组基

注：维数与所考虑的数域有关

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线性组合

等价

线性相关

常用结论

维数

基

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