对数平均不等式

对数平均不等式

作者: 彼岸算术研究中心 | 来源:发表于2020-04-28 16:09 被阅读0次

原理

不等式链 $\frac{a+b}{2}> \frac{a-b}{ \ln a- \ln b}> \sqrt{ab} ,$ 成立的前提条件是 $a ≥ 0 , b ≥ 0 , a ≠ b ,$ 其中 $\frac{a+b}{2}$ 叫做 $a , b$ 的算术平均数 , $\sqrt{ab}$ 叫做 $a , b$ 的几何平均数 , $\frac{a-b}{ \ln a- \ln b}$ 叫做 $a , b$ 的对数平均数 .

变形1

取 $a = x _1 , b = x _2 ,$ 则由①知 : $\frac{x_{1}+x_{2}}{2}> \frac{x_{1}-x_{2}}{ \ln x_{1}- \ln x_{2}} .$ 于是 , 可编制如下试题 :

已知 $x _1 > x _2 >0 ,$ 求证 : $\ln x_{1}- \ln x_{2}> \frac{2(x_{1}-x_{2})}{x_{1}+x_{2}} .$

变形2

取 $a = x _1 , b = x _2 ,$ 则由②知 : $\frac{x_{1}-x_{2}}{ \ln x_{1}- \ln x_{2}}> \sqrt{x_{1}x_{2}}$ 于是 , 可编制如下试题 :

已知 $x _1 > x _2 >0 ,$ 求证 : $\ln x_{1}- \ln x_{2}< \frac{x_{1}-x_{2}}{ \sqrt{x_{1}x_{2}}}.$

变形3

取 $a = x _1+1 ， b = x _2+1 ,$ 则由①知 : $\frac{(x_{1}+1)+(x_{2}+1)}{2}> \frac{(x_{1}+1)-(x_{2}+1)}{ \ln (x_{1}+1)-1n(x_{2}+1)}.$ 可编制如下试题 :

对任意 $x _1 . x _2 ∈ ( -1 , + \infty ) ,$ 且 $x _1 ≠ x_2 ,$

求证 : $\frac{x_{1}-x_{2}}{ \ln (x_{1}+1)-1n(x_{2}+1)}< \frac{(x_{1}+1)+(x_{2}+1)}{2}$

变形4

取 $a = x _1+1 , b = x _2+1 ,$ 则由②知 : $\frac{(x_{1}+1)-(x_{2}+1)}{ \ln (x_{1}+1)- \ln (x_{2}+1)}> \sqrt{(x_{1}+1)(x_{2}+1)} .$ 于是 ,可编制如下试题 : 对任意 $x _1 , x _2 ∈ ( -1 , + ∞ ) , 且 x _1 ≠ x_2 ,$ 求证 : $\frac{x_{1}-x_{2}}{ \ln (x_{1}+1)-1n(x_{2}+1)}>\sqrt{x_{1}x_{2}+x_{1}+x_{2}+1} .$

变形5

取 $a=e^{x_1} , b =e ^{x_2}$ (即设 $\ln a = x _1,\ln b = x _2$ ) ,则由①知 : $\frac{e^{x_{1}}+e^{x_{2}}}{2}> \frac{e^{x_{1}}-e^{x_{2}}}{x_{1}-x_{2}} .$ 于是 , 可编制如下试题 : 对任意 $x _1 , x _2 ∈ R ,$ 且 $x _1 > x _2$ , 求证 : $\frac{x_{1}-x_{2}}{2}> \frac{e^{x_{1}}-e^{x_{2}}}{e^{x_{1}}+e^{x_{2}}}$ .

变形6

取 $a = e ^{x_1} , b = e^{x_2}$ ( 即设 $\ln a = x _1 , \ln b = x _2$ ) , 则由②知 :

$x_{1}-x_{2}< \frac{e^{x_{1}}-e^{x_{2}}}{e^{ \frac{x_1+x_2}{2}}}$ 于是 , 可编制如下试题 : 对任意 $x _1 , x _2 ∈ R , 且 x _1 > x _2 ,$ 求证 : $\frac{e^{x_{1}}-e^{x_{2}}}{x_{1}-x_{2}}> \sqrt{e^{x_{1}} \cdot e^{x_{2}}} .$

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