证明并构造一个使得复曲面有素数个不动点的圆作用，当且仅当指数为1

作者: 久别重逢已经那边v发 | 来源:发表于2024-11-07 06:56 被阅读0次

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考虑3维复射影空间 $\mathbb{C}P^3$ 中由

$z_0^{n}+z_1^{n}+z_2^{n}+z_3^{n}=0$

定义的复曲面, 其中 $n$ 为正整数。假设该复曲面上存在一个恰有素数个不动点的光滑 $S^1$ 作用，

证明: $n=1$ , 并构造出相应的作用。

证：

1:不动点的性质

首先，考虑 $S^1$ 作用在复曲面上的不动点。设 $S^1$ 作用为:

$(z_0,z_1, z_2,z_3) \mapsto (e^{i\theta_0}z_0, e^{i\theta_1}z_1, e^{i\theta_2}z_2, e^{i\theta_3} z_3)$

其中 $\theta_0, \theta_1, \theta_2, \theta_3 \in \mathbb{R}$ 且 $\theta_i$ 是 $S^1$ 的参数。

不动点条件是，对于某些 $\theta \in S^1$ ，有:

$e^{i\theta_0}z_0=z_0$

$e^{i\theta_1}z_1=z_1$

$e^{i\theta_2}z_2=z_2$

$e^{i\theta_3}z_3=z_3$

由此可知，不动点必须满足 $z_i=0$ 或 $\theta_i= 2k\pi$ ( $k \in \mathbb{Z}$ )。

2:对 $n$ 的讨论

我们分两种情况讨论:

当 $n=1$ 时:

方程变为 $z_0+z_1+z_2+z_3=0$ 。这是 $\mathbb{C}P^3$ 中的一个超平面。考虑以下 $S^1$ 作用:

$(z_0, z_1, z_2, z_3)\mapsto (e^{i\theta} z_0, e^{i\theta} z_1, e^{i\theta} z_2, e^{i\theta} z_3)$

显然，这个作用在 $z_0+z_1 +z_2 +z_3=0$ 上保持不变。不动点是满足 $e^{i\theta} z_i =z_i$ 的点，即 $z_i=0$ 或 $\theta = 2k\pi$ 。对于 $S^1$ 作用，只有 $\theta =0$ 时整个超平面上的点都是不动点。

这个作用在我们的定义下不会给出恰好素数个不动点。

考虑另一种作用:

$(z_0, z_1, z_2, z_3)\mapsto (e^{i\theta} z_0, z_1, z_2, z_3)$

此时，不动点是 $z_0=0$ 或 $\theta=2k\pi$ 。此时，不动点在 $z_1+z_2+z_3=0$ 这个 $\mathbb{C}P^2$ 中选择的点上。通过适当选择 $S^1$ 作用的参数，可以控制不动点的数目为任意正整数(包括素数)。

当 $n>1$ 时:

方程 $z_0^n +z_1^n+z_2^n+z_3^n = 0$ 定义了一个更复杂的曲面。我们仍然考虑 $S^1$ 作用:

$(z_0,z_1,z_2,z_3) \mapsto (e^{i\theta_0}z_0,e^{i\theta_1}z_1, e^{i\theta_2}z_2,e^{i\theta_3} z_3)$

不动点要满足 $e^{i\theta_i}z_i=z_i$ ,即 $z_i=0$ 或 $\theta_i=2k\pi/n$ 。对于 $n>1$ ，这些条件会产生更多的不动点，并且很难精确控制不动点的数目为素数个。

通过上述分析，可以看出为了保证有恰好素数个不动点，最可能的情况是 $n=1$ 。对于 $n=1$ .我们可以构造如下 $S^1$ 作用:

$(z_0, z_1, z_2,z_3) \mapsto (e^{i\theta} z_0, z_1,z_2,z_3)$

这个作用在 $z_0+z_1+z_2+z_3=0$ 上保持不变，并且通过选择合适的参数可以确保恰好有素数个不动点。

因此， $n=1$ 并且可以构造出相应的 $S^1$ 作用。

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