滤波器的设计思路

作者: 光头不光还亮 | 来源:发表于2020-02-13 15:48 被阅读0次

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电容、电感有选频的功能，但是单个的电容和电感的选频特性并不理想，表现在通带与阻带之间的过渡部分不陡峭，这就会导致通带附近的阻带的衰减不大，为了改善这种现象，需要利用多个电容和电感网络，通过多次频率选择来改善通带附近的频率选择特性。

然而多个电抗元件组成的网络是很复杂的，为了设计这样的电路，必须应用信号与系统的知识，结合数学手段才能得到最优化的设计。

设计一个滤波器的过程实际上是建立滤波器指标与物理结构的关系,滤波器指标可以用滤波器理想 $\vert H(j\omega )\vert$ 曲线表示,本章讨论的是集总参数滤波器,物理结构就是由集总参数元件(电感和电容)构成的电路网络,所以,现在的目标是建立滤波器理想 $\vert H(j\omega )\vert$ 曲线与 LC 网络之间的关系，如图 2-4。

为了建立这两者之间的关系，需要几个中间变量，即，将滤波器理想 $\vert H(j\omega )\vert$ 曲线与 LC 网络之间的关系分解成几个子关系，图 2.5 是就是一种思路，可以用来理解滤波器设计的基本原理。

如图 2-5 所示，滤波器指标可以由理想的 $\vert H(j\omega )\vert$ 曲线来表示；而理想 $\vert H(j\omega )\vert$ 曲线是无法用实际元件构建，因为它是由分段函数表示的，所以只能用可以由实际元件构建的 $\vert H(j\omega )\vert$ 曲线来近似，这种传输函数 $H(j\omega )$ 有明确的解析式；根据信号与系统知识，传输函数 $H(j\omega )$ 可以由零极点唯一地表示，即需要构建一个传输函数，只需构建它的零极点；要知道如何构建滤波器传输函数的零极点，就需要分析零极点对传输函数频率选择性的影响；零极点确定以后，最后一步就是用实际的 LC 元件来实现这些零极点。这样滤波器的理想 $\vert H(j\omega )\vert$ 曲线和 LC 元件的关系就能建立起来了.

理想传输曲线、实际传输曲线和零极点的关系:

理想 $\vert H(j\omega )\vert$ 曲线是由折线构成，并且有突变点（斜率无穷大），这在实际系统中是不可能实现的，能够在物理上实现的 $\vert H(j\omega )\vert$ 一定是一个具体的解析式，而这个解析式可以表示成两个关于 $\omega$ 的多项式的商，一般分析以复频率 s 作为变量，见 2-3 式。

将上式的分子分母分别进行因式分解，可得到 2-4 式：

上式中，K 为常数； $Z_{i}$ 叫做传输函数的零点(ZERO)，因为当复频率 s 等于 $Z_{i}$ 时，传输函数为零； $P_{i}$ 叫做传输函数的极点(POLE)，因为当复频率 s 等于 $P_{i}$ 时，传输函数取得极值。

可见，如果一个传输函数的零极点确定了，那传输函数就确定了（ K 是模值，它不影响传输函数的选频特性，所以暂时不考虑）。所以要构建一个 $\vert H(j\omega )\vert$ 曲线近似于理想 $\vert H(j\omega )\vert$ 曲线的传输函数 $H(j\omega )$ ，就需要构建一群能够实现这个理想 $\vert H(j\omega )\vert$ 的零极点 $Z_{i}$ , $P_{i}$ 。为了简单分析，只讨论没有零点的情况，事实上决定滤波器特性的主要是极点的个数和位置。

自我理解：零点就是需要抑制的频率，极点可以控制需要通过的频率的衰减大小，了用较少的谐振器达到较好的带外抑制，最好的办法是添加传输零点，传输零点可以使某个频率上的 $\vert s_{21} \vert =0=\propto$

极点与传输函数频率响应的关系:

极点的个数和位置决定了 $\vert H(j\omega )\vert$ 的频率选择特性，为了说明这一点，先考虑一个简单的情况——只含一个极点的传输函数，见 2-5 式。

其中P1 为传输函数的极点，它在复平面上的位置如图 2-6。

由于我们关心 $\vert H(j\omega )\vert$ ，所以先对上式取模值，得到 2-6 式。

注意，实际系统都是因果系统，所以极点都在复平面的左半平面；由于要讨论频率响应 $\vert H(j\omega )\vert$ ，所以令上式的 $s=j\omega$ ，可得到这个传输函数模值 $\vert H(s )\vert$ 的频率响应 $\vert H(j\omega )\vert$ ，见 2-7 式。

于 K 是常数，假设它是确定的，那么 $\vert H(j\omega )\vert$ 就决定于分母 $\vert j\omega -p_{1} \vert$ 的大小， $j\omega -p_{1}$ 可以看成一个复平面上的向量。设这个向量的模为 $d_{1}$ ， $d_{1} =j\omega -p_{1}$ ，所以有 $\vert H(j\omega ) \vert =\frac{\vert K \vert }{d_{1} }$

从图 2-6 可知，当信号的频率变化时，相当于 $j\omega$ 点在复频面的虚轴上移动，这将导致向量模值 $d_{1}$ 的变化，进而导致 $\vert H(j\omega )\vert$ 的变化。当 $j\omega$ 点移动到与极点 $p_{1}$ 对虚轴投影时（即当 $\omega =IM\left\{ p_{1} \right\}$ ）， $d_{1}$ 的长度达到最短， $\vert H(j\omega )\vert$ 达到最大(插损小)；当 $j\omega$ 点逐渐远离 $p_{1}$ 对虚轴投影时， $d_{1}$ 的长度逐渐增大， $\vert H(j\omega )\vert$ 逐渐减小；当 $j\omega$ 点离 $p_{1}$ 对虚轴的投影无穷远时， $d_{1}$ 的长度为无穷大， $\vert H(j\omega )\vert$ 为零（抑制最大）。

由此可见，极点对 $\vert H(j\omega )\vert$ 的作用是增强极点对虚轴投影那个频率的信号的 $\vert H(j\omega )\vert$ ，把这种效应叫做极点增强效应。所以，如果需要一个滤波器的传输函数的极点的投影在某个频率 $\omega _{0}$ 上，那么这个滤波器就具有通过这个频率信号、抑制其他频率信号的功能。换一句话说，如果要设计一个通带为 $\omega _{0}$ （点频）的滤波器，那么就需要构建一个极点在复平面虚轴上的投影等于 $\omega _{0}$ 的传输函数。按照这个思路，如果要设计一个通带为一段频带的滤波器，就需要将多个极点放在这个频带的对面，构成一条“极点墙”，如图 2-7。

值得注意的是，传输函数的极点是成共轭对出现的，即一个极点关于复频面实轴的镜像点处一定还有一个极点。

要构建多个极点的传输函数，使其对一个频带内都有增强效果，不是一个直观的工作，需要借助数学手段来处理，因此诞生出巴特沃兹函数、切比雪夫函数等用来确定极点的函数，用这些函数所得到的传输函数的选频特征类似，但侧重点不一样，用巴特沃兹函数得到的传输函数在通带内具有最大平坦度，但是通带与阻带直接的过渡曲线不够陡峭，也就是说它对靠近通带边缘的阻带的信号抑制不够理想，而切比雪夫函数得到的传输函数的通带与阻带的过渡段曲线比较陡峭，但是它的通带并不是平的，会出现细小波纹，这些波纹会使通带内的 $\vert H(j\omega )\vert$ 有微小上下起伏的变化，如果变化幅度很小，是完全可以接受的。

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