量化投资的利器：隐马尔可夫模型（四）

作者: tgbaggio | 来源:发表于2018-09-09 17:33 被阅读2次

之前的《量化投资的利器：隐马尔可夫模型（三）》讨论了如何在监督式学习的场景下使用隐马尔可夫模型。在监督式学习（针对序列数据）里，搭建模型的训练数据为 ${(X_i, y_i)}$ ，其中 $y_i$ 表示事物的状态，它是能被观察的（训练数据里有这个变量）。但在现实生活中的很多情况下，变量 $y_i$ 是隐藏的、观测不到的，得到的训练数据里只有 $X_i$ ，如图1所示。

图1

比如《量化投资的利器：隐马尔可夫模型（一）》中的例子：只能观察到小安每天的活动，并不知道每天的天气情况；又比如在股票市场，我们只能看到股票价格、成交量等信息，但无从知道当前股市的状态（分为牛市、熊市和震荡3种状态），这些场景都是所谓的非监督式学习，下面讲讨论如何在这些场景下使用HMM模型。

注：在Github上可以下载本文中所用到的训练数据和模型代码。

一、股票市场：非监督式学习

对于这种类型的数据，我们希望也能像之前一样，搭建模型预测变量 $y_i$ （根据变量 $X_i$ ）。这是一个很困难的任务，因为这要求模型能像变魔术一样，“无中生有”地变成相应的 $y_i$ 来。比较经典的逻辑回归、支持向量学习机等判别式模型完全没办法处理这类型数据，但作为生成式模型的隐马尔可夫模型却能很好地完成这个建模任务。事实上，解决这种非监督式学习问题才是隐马尔可夫模型的设计初衷，也是这个模型最常用的使用方法。从文字上来讲，隐马尔可夫这个名字中的隐字就对应着变量 $y_i$ 不可观测这个事实。

隐马尔可夫模型是如何做到这一点的呢？要回答这个问题，我们先来看看在已知 $y_i$ 的情况下，隐马尔可夫模型是如何估计模型参数的。正如前面文章讨论的那样，隐马尔可夫模型估计模型参数的原则是最大似然估计法，就是最大化序列数据的联合概率P(X, y)，如公式（1）所示，其中 $\theta$ 表示模型参数， $(X, y) = {(X_i, y_i)}$ 表示训练数据。

$P(X, y | \theta) = P(y_0 | \theta) \prod_i P(y_i | y_{i - 1}, \theta) \prod_j P(X_j | y_j, \theta) \\ \hat{\theta} = argmax_\theta P(X, y | \theta) \tag{1}$

在非监督学习中，变量是未知的，但依然可以类似地定义模型的似然函数，如公式（2）所示：

$P(X | y, \theta) = P(y_0 | \theta) \prod_i P(y_i | y_{i - 1}, \theta) \prod_j P(X_j | y_j, \theta) \\ \hat{\theta}, \hat{y} = argmax_{\theta, y} P(X| y, \theta) \tag{2}$

与监督式学习相比（公式（1）），变量从已知的训练数据变成了一类特殊的“模型参数”，但整个似然函数的“架子”（数学公式）还是不变的。针对这类似然函数，依然可以使用最大似然估计法的原则来估计模型参数以及被预测量。但与监督式学习相比，由于新加入了未知量，需要估计的“参数”个数更多了，所以需要用到特殊的估计算法：最大期望算法（Expectation-Maximization Algorithm，EM）。下面就以multinomial HMM为例介绍，如何在非监督式学习场景里使用EM算法估计模型参数。

在非监督式学习中，multinomial HMM的模型假设是不变的。因此，只要给定的取值（先不管这里给定的是否正确合理，事实上可以是随机生成的），那么就能像《量化投资的利器：隐马尔可夫模型（三）》中公式（1）那样估算相应的模型参数。
反过来，如果有了模型参数（同样地，先不管这些模型参数是否合理），就可以使用《量化投资的利器：隐马尔可夫模型（三）》里讨论的Viterbi算法得到相应的预测值。

数学上可以证明，如果将上面的两步重复交叉使用，就可以最终得到公式（2）的解。这就是EM算法，其中第一步被称为M step，而第二步被称为E step，具体如图2所示。

图2

在讨论完有点艰深晦涩的模型理论后，我们重新回到股票市场，讨论如何使用隐马尔可夫模型对其建模。正如本节开头讨论的，将股票市场分为如下两层。

第一层是观察得到的股票市场特征包括5日的收益率、20日收益率、5日成交额增长率以及20日成交额增长率，用变量 $X_i$ 表示。
第二层是观察不到的市场状态，一共包含3种状态，分布是牛市、熊市和震荡（当然也可细分为更多的市场状态，这里仅以3种状态举例），用变量 $y_i$ 表示。

我们希望能搭建这样一个模型，它能根据一段时间的市场表现（变量 $X_i$ ），预测当前的市场状态以及未来一段时间的市场状态（变量 $y_i$ ）。在金融界，针对股票市场有一个很重要的假说，那就是有效市场假说^[1]。这个假说的意思是当前的股票价格已经反映了所有历史信息的价值。换句话说，当前的市场状态已经完全包含了历史市场状态，因此在已知当前市场的条件下，未来和过去是相互独立的，即 $y_i$ 可以认为是一个马尔可夫链，这是使用隐马尔可夫模型的基础。除此之外，进一步假设在市场状态已知的情况下，股票的日收益率和成交量服从正态分布^[2]。根据这些假设，搭建隐马尔可夫模型如下。

先验分布 $P(X_i | y_i)$ ：正如上面的假设，这个分布是一个正态分布，而且显然在不同的市场环境下，日收益率和交易量对应的协方差矩阵显然是不一样的。因此，假设 $X_i | (y_i = l) \sim N(\mu_l, \Sigma_l)$
初始分布 $P(y_0)$ ：由于变量是离散的，因此假设 $P(y_0 = l) = a_l$ （这和《量化投资的利器：隐马尔可夫模型（三）》中的multinomial HMM是一致的）。
转移矩阵 $P(y_i | y_{i - 1})$ ，它表示3种状态间相互转移的可能性，于是假设矩阵的元素为 $P(y_i = l | y_{i - 1} = t) = b_{l, t}$ （这和multinomial HMM也是一致的）。

由于这个隐马尔可夫模型是基于正态分布的，因此它在学术上被称为Gaussian HMM。

二、股票市场之代码实现

讨论完理论部分后，现在来看看具体的代码实现。本节将使用Gaussian HMM模型对上证指数的历史数据进行建模。所用数据是从2005-06-01到2017-08-28的上证指数以及相应的每日成交额（事实上，数据里还有每日最高最低价等有用信息，但为了表示简洁，本节的建模例子并不使用这些变量）。
对金融市场比较了解的读者会知道，中国的A股（也就是被人熟知的深市和沪市）开始于1990年12月19日，但A股在最初阶段并不是一个很成熟的金融市场，这主要表现在上市公司内部普遍存在“股权分置”的现象^[3]。2005年6月开始的股改是一个标志性的事件，表明中国的A股市场与国际开始接轨，并逐步迈向成熟。这个时间点前后的股票市场是截然不同的两个市场，因此只使用股改开始后的数据进行建模。

除了具体价格，股票市场每天的成交额（买卖股票的总金额）也是反映市场状态的一个很重要的指标。通常认为，在牛市里成交额会逐步放大，而在熊市里成交额会极度萎缩。针对A股市场，在使用成交额这个数据时需要特别注意这一点。1990年至今（2017年），中国经历了人类历史上罕见的经济高速发展期。伴随着经济的快速增长，通货膨胀是不可避免的，比如1990年末的货币供应量M2为15 293.4亿，而2016年末的M2为1 550 100亿元，增长了大约100倍。因此，在利用成交额搭建模型时，需要使用通货膨胀率对其做相应的折现处理^[4]。在本节的例子中，我们使用的是5日成交额增长率以及20日成交额增长率，这就很巧妙地避开了上述的通货膨胀问题。

虽然scikit-learn并没有实现将要使用的Gaussian HMM模型^[5]，但有比较成熟的开源方案：hmmlearn。它的安装方法很简单，只需运行“pip install -U --user hmmlearn”即可。

模型的代码实现很简单，如程序清单1（完整代码请参考stock_analysis.py）所示。

第三方库hmmlearn实现了3种用于非监督式学习的HMM模型，分别是Gaussian mixture HMM、multinomial HMM以及Gaussian HMM。本节将使用Gaussian HMM，它的具体实现为GaussianHMM，如第1行所示。
从原始数据中提取4个特征搭建模型，它们分别是5日的收益率（“r_5”）、20日收益率（“r_20”）、5日成交额增长率（“a_5”）以及20日成交额增长率（“a_20”），如第7行代码所示。
GaussianHMM里的参数“n_components”表示内在状态的个数，本例中这个值等于3，如第8行代码所示。
参数“covariance_type”表示先验分布里协方差矩阵的类型（在状态已知的情况下，特征服从正态分布）。这个值等于“full”表示在不同市场状态下协方差矩阵是不同的，而且可以是任意半正定对称矩阵（也就是说并不要求协方差矩阵是对角矩阵）。其他可能的取值为“spherical”（协方差矩阵为单位矩阵）、“diag”（协方差矩阵为对角矩阵）以及“tied”（不同状态下的协方差矩阵是一样的）。
参数“n_iter”则表示EM算法的最大循环次数。
GaussianHMM的模型API与scikit-learn非常相似，如第9、10行代码所示，使用fit方法训练模型；使用predict方法对数据做预测。

程序清单1 Gaussian HMM

 1  |  from hmmlearn.hmm import GaussianHMM
 2  |  
 3  |  def getHiddenStatus(data):
 4  |      """
 5  |      使用Gaussian HMM对数据进行建模，并得到预测值
 6  |      """
 7  |      cols = ["r_5", "r_20", "a_5", "a_20"]
 8  |      model = GaussianHMM(n_components=3, covariance_type="full", n_iter=1000)
 9  |      model.fit(data[cols])
10  |      hiddenStatus = model.predict(data[cols])
11  |      return hiddenStatus

根据模型的分类结果，将不同的状态的上证指数表示在不同的坐标系里可以得到如图3所示的结果，其中标记1为所有的市场交易数据，而标记2、3、4则是分类结果。图3表示模型的分类结果基本符合预期，比如在标记2中，股市上涨和下跌的比例大致相同，而且都在一个比较窄的区间内变化，因此对应的是震荡这个市场状态。类似地，可以推断出标记3表示的是熊市，而标记4表示的是牛市^[6]。

图3

基于上面的模型结果，很容易就能得到较为有效的量化交易策略，比如执行这样的策略就能获得不错的收益：若当天的隐藏状态是牛市（根据模型结果），则买入或继续持有股票，否则卖出股票或保持空仓。

如果实际生产中真的使用这个模型来做交易，你会沮丧地发现实际效果远不如历史数据的测算结果。这是因为隐马尔可夫模型的预测公式如下所示（程序清单1中第10行代码中的predict方法就是这么计算的）：

$\hat{Y} = argmax_Y P(y_0, ..., y_T | X_1, ..., X_T) \tag{3}$

也就是说，在测算历史数据时，预测变量 $y_1$ 时，就已经知道了后来的实际交易数据 $X_2, ..., X_T$ 。这一点在实际生活中是不可能实现的，因为没有办法预知未来。因此，为了使模型的测算结果更加符合现实，需要循环地调用公式（3）来预测，而不是一次性地得到全部数据的预测结果。

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这篇文章的大部分内容参考自我的新书《精通数据科学：从线性回归到深度学习》。

李国杰院士和韩家炜教授在读过此书后，亲自为其作序，欢迎大家购买。

有效市场假说（efficient-market hypothesis）是金融学里最重要的理论之一。这个理论认为，投资者无法通过建模等技术手段从市场上获取超过平均水平的收益，也就是说对股票市场进行建模是无意义的。 ↩
金融学里常常假设市场是一个服从正态分布的随机游走，而且实际数据也大致符合这个假设。另外数学上对正态分布的处理也最为成熟，基于该分布进行建模可行性是最高的，因此传统的量化金融模型大多会使用这一假设。但在实际生活中，市场并不总是服从正态分布的，这会导致传统量化模型在特定条件下表现很差。由于金融市场离钱最近，即使很小的模型偏差也会导致巨大而直接的金钱损失，这就是所谓的“黑天鹅”事件。所以现代量化金融的研究重点是利用非正态的概率分布（non Gaussian distribution）搭建模型。 ↩
在股票市场刚成立时，大部分上市公司是国有企业。这些企业大多数有3种类型的股份：国有股、法人股以及普通股。其中只有普通股能在股票市场上交易，于是这3种类型的股份形成了“同股不同权，同股不同利”的局面，也就是所谓的“股权分置”现象。 ↩
折现就是利用折现率（可以理解为更广义的通货膨胀率），将现在的货币折算成等价的过去货币。举个简单的例子，假设当前时间距离过去的基准时间点为 $t$ 年，需要折现的金额为 $a$ ，折现率为 $\beta$ ，则折现后的金额为 $a\beta^{t}$ 。 ↩
事实上，较早版本的scikit-learn（在0.17之前）是包含隐马尔可夫模型的，但后来因为项目目标的变化，这部分代码被移出了scikit-learn，变成了本节将要使用的hmmlearn。 ↩
虽然Gaussian HMM能将数据分类，但与监督式学习有所不同的是，分类结果并没有直接的物理意义。也就是说，模型只能将数据分类，但无法告诉我们每个类别的具体含义。因此需要人为地根据各个类别里的数据特点，给类别赋予含义。 ↩

量化投资的利器：隐马尔可夫模型（四）

一、股票市场：非监督式学习

二、股票市场之代码实现

三、广告时间

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