p121 - p146
今天负能量比较爆，所以现在沉下来看会书反而觉得心情好了些。

第六章 支持向量机

6.1 间隔和支持向量

给定一个训练集，最基本的想法就是找一个超平面划分他们。
在这些超平面中，正中间的显然“容忍性”最好，即“鲁棒”性

超平面可用以下式子来描述：
w`x + b = 0

任意x到平面距离可写为：
r = |w'x+b| / ||w||
假设这个面能正确分类，即对于y=1，w'x+b>0；y=-1,w`x+b<0。
放在实际里，可能不仅是>0 <0，如>=1与<=-1。

距离超平面最近的几个点使=1和=-1成立，这些点对应的向量称为支持向量（SV）
两个异类SV到平面距离之和为 r = 2/ ||w||，称为间隔（margin）

想要找到最大间隔的超平面，就是找w和b使得r最大，即：max 2/||w||

即min 1/2 * ||w||^2，s.t. yi (w`xi + b) >= 1。(※)
※式便是SVM的基本型。

6.2 对偶问题

※式是一个凸二次规划问题，可以用现成包解决。
但有更高效方法：拉格朗日乘子法——得到对偶问题。
具体过程见p123-p124。

最终得到一个性质：训练完成后，大部分训练样本对计算过程是没用的，即最终效果只与支持向量有关。

在问题规模正比于样本数情况下，如何具体求解？

高效算法SMO

具体过程见p124-125

6.3 核函数

不是线性可分咋办？如异或问题。
答：映射到高维空间。

这时应用6.1与6.2的方法计算时会出现问题：
特征维数太大，计算困难。

引出核函数。见p127

若知道怎么映射，即φ的具体形式，就能写出核函数k()的具体形式。
但通常不知道φ，那么怎么确定k()呢？

定理6.1（核函数定理）。p128

由此可见，“核函数选择”成为了SVM的最大变数，核函数选择的好性能就好。
p128 6.1列出了常用的核函数。

核函数的计算准则：核函数的线性组合，直积、型都是核函数。

6.4 软间隔与正则化

之前我们一直假定训练样本在样本空间或者特征空间是线性可分的。
但是，核函数难找。
退一步说，即使找到了，恰好找到一个，也是有很大的过拟合嫌疑的。

缓解策略：允许SVM在一些样本上出错。
引进“软间隔”概念

即允许某些样本不满足约束 yi(w'xi + b) >= 1。（※※）
同时，不满足的应该尽可能少。
即优化目标为：
min 1/2 * ||w||^2 + C∑ bool_func(yi(w'xi + b) - 1） （※※※）
其中bool_func称为0/1损失函数。
定义见p130 ，但实际上我们自己是能写出来的。。。

显然，C为无穷大时，可理解成迫使所有样本满足（※※）

然而，bool_func性质不太好（非凸，非连续），使得优化目标不易求解。所以实际常用一些其他函数来代替bool_func，如p130 6.31-6.33三个函数。

若采用6.31的hinge损失： hinge(z) = max(0,1-z)，并引入“松弛变量”
就是常用的“软间隔支持向量机”

经过复杂的计算推导过程（p131-132）。。
我们会发现：
软间隔SVM最终模型也是只和SV有关，即hinge函数使训练保持了稀疏性

可以发现，如果使用6.33作为bool_func，几乎得到了第三章中的对率回归模型。

注：博主第三章看的不太明白，因为数学有些多，之后要找机会重刷一遍。

总而言之，无论使用什么模型，基本形式都会是※※※形式。
前一项称作“结构风险”
后一项称作“经验风险”
C用来对两者进行折中。

从这个角度来说，※※※这样的式子称为“正则化问题”，前一项称为正则化问题，C称为正则化常数。

6.5 支持向量回归（SVR）

考虑回归问题，即希望得到一个类似w'x+b = 0这样的模型。

与传统回归不同，传统回归当且仅当y与f(x)相同时，才认为损失为0
SVR假设我们能容忍f(x)与y之间最多有ε的偏差，即只有误差大于ε才计算损失，落到中间宽度为2ε的间隔带里不计算损失。

经过复杂的数学推导。。。（p134-136），得到解：式6.53

SVR的支持向量是间隔带之外的向量，即其解仍具有稀疏性。

若考虑特征映射？ 就是式6.56。

6.6 核方法

回顾SVM和SVR，我们发现学得的模型总能表示成核函数的线性组合。

实际上会有一个更普遍的结论：
定理6.2 表示定理 p137

意味着对于一般的损失函数和正则化项，优化问题的最优解都可以表示为k的线性组合。

这说明核函数真的很厉害。。

6.7 阅读材料

SVM直接掀起了统计学习浪潮

SVM如何提高效率，应用于大规模数据一直是研究热点。

SVM是针对二分类设计的，对多分类要进行专门的推广。

核函数太关键，“多核学习”借助集成学习思想，使用多个核函数。

休息一会儿

Nothing is more practical than a good theory.

神经网络和SVM的神奇的联系。（在注解中）

最后贴张图，难得看书真的动了动笔

SVM基本型