01
【错例1】在计算765×7的时候，忘记写进位的“3”或“4”，或者算6乘7等于42的时候没有加进位的3等，还有把进位的3或4写得很大，结果和别的一些数字相混淆。
【思路点拨】
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**【指点迷津】 **多练习，多听老师讲评，最重要的是自己计算时不要分心，一步一步按照顺序来计算，熟练了就好了。
【错例2】遇到个位是0的多位数，容易忘记在积的末尾加0。例如：450×6。
【思路点拨】
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**【指点迷津】 **要牢记，当我们计算出270以后，千万不能忘记再将因数中的0补上去。也可以先估计好这题的结果肯定是2000多，怎么也不可能等于270。
【错例3】小刚家距离学校480米，他每天中午回家吃饭，小刚每天上学要走多少米的路？
【思路点拨】很多同学会误以为小刚每天走了2个480米。其实不然，我们要特别注意“他每天中午回家吃饭”这句话，换句话说：小刚早上上学、中午回家吃饭、下午上学、傍晚放学一共要走4段家到学校的路程，所以小刚每天上学要走480×4＝1920（米）长的路。
【指点迷津】看清题目的条件非常重要，我们在平时的学习过程中倒不一定会碰到多少“超级难题”，而很多错误往往是因为自己看题不仔细、计算不细心导致的。所以，养成良好的读题习惯、正确分析题意、认真又正确地计算一直发挥着至关重要的作用。
【错例4】□42×3，如果要使积是四位数，□内最小填什么？如果要使积是三位数，□内可以填什么？
【思路点拨】如果要使积是四位数，我们一眼便可以看出□内需填“4”，再仔细看看，其实填“3”就能使积是四位数了，因为342×3＝1026；如果要使积是三位数，现在就简单了，□可以填2、1。
【指点迷津】看来很多时候我们不能光凭自己的眼睛，实实在在地算一算，有时候非常地管用和必要，碰到一个问题，我们需要的答案是“肯定”，而不是“可能”。
【错例5】小兔子每分钟大约跑100米，小老虎每分钟大约跑200米。他们同时起跑，跑了5分钟后，小老虎休息了4分钟，小兔子继续跑。在小老虎结束休息前，小兔子能追上小老虎吗？
【思路点拨】我们先梳理题目中的信息：小老虎每分钟大约跑200米，只跑了5分钟；小兔子每分钟大约跑100米，跑了5＋4＝9（分）。只要比较它们跑的路程的多少就可以了。小老虎跑了200×5＝1000（米），小兔子跑了100×9＝900（米）。很显然，小兔子跑的路程900米小于小老虎跑的路程1000米，所以，小兔子不能追上小老虎。
【指点迷津】我们也可以这样来思考：先计算前5分钟小老虎比小兔子多跑的路程，每分钟多跑200－100＝100（米），那么5分钟多跑100×5＝500（米）。再计算小兔子在小老虎休息的4分钟时间里能不能跑到500米：100×4＝400（米），小于500米。所以，小兔子不能追上小老虎。
【错例6】用2、4、6、8组成一个三位数和一个一位数，怎样使它们的乘积最大？怎样使它们的乘积最小？
【思路点拨】我们先列举出能够组成的三位数和一位数的各种情形，再计算，答案自然会出来。
（1）246×8，264×8，426×8，462×8，624×8，642×8，这里当然是“642×8”的乘积最大，642×8＝5136；“246×8”的乘积最小，246×8＝1968。
（2）248×6，284×6，428×6，482×6，824×6，842×6，这里当然是“842×6”的乘积最大，842×6＝5052；“248×6”的乘积最小，248×6＝1488。
（3）268×4，286×4，628×4，682×4，826×4，862×4，这里当然是“862×4”的乘积最大，862×4＝3448；“268×4”的乘积最小，268×4＝1072。
（4）468×2，486×2，648×2，684×2，864×2，846×2，这里当然是“864×2”的乘积最大，864×2＝1728；“468×2”的乘积最小，468×2＝936。
很明显，在四个较大的乘积中挑一个最大的是“642×8＝5136”； 在四个较小的乘积中挑一个最小的是“468×2＝936”。
【指点迷津】我们通过列举的方法虽然比较繁琐，但一定能找到正确的答案。有没有更简单的方法呢？有的。我们需要这样分析如何确定最大的乘积，首先这两个数要尽量大，其次它们要非常地接近，因此，把2、4、6分在一组，8单独一个数，所以，642×8的乘积最大；同样道理，要使乘积最小，首先使这两个数尽量小，同时差得尽量多，因此，把4、6、8分在一组，2单独一个数，所以，468×2的乘积最小。
【错例7】在下面乘法竖式的□里填上合适的数字，使等式成立。
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【思路点拨】由于乘积的数字不全，特别是不知道乘积的个位数，我们只能从最高位入手分析。
乘积的最高两位是2□，第一个因数的最高位是3，由
3 × □ ＋ □ ＝2□
因数 进位数
可以确定第二个因数的大致范围，它只可能是6，7，8，9。
（1）如果它为6，那么，积的个位填“2”，并向十位进4，此时，9－4＝5，6与第一个因数的十位上的数字相乘之积的个位数只能是5，这是不可能的，因此，“6”可以排除。
（2）如果为7呢？那么，积的个位填“9”，并向十位进4。与（1）的分析相同，要使积的十位是9，第一个因数的十位只能填“5”，从而可以知道，积的百位填“4”，可以得到符合的填法。
（3）如果为8呢？那么，积的个位填“6”，并向十位进5。要使和的十位是9，第一个因数的十位只能填“3”或“8”。
当十位填“3”时，可以得到符合题意的填法。
当十位填“8”时，积的最高位为“3”，不合题意。
（4）如果为9呢？那么，积的个位填“3”，并向十位进6。要使积的十位是“9”，第一个因数的十位只能填“7”。而此时，积的最高位是“3”，也不合题意。
所以，从上面的分析可以看出，有以下两种填法：
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【指点迷津】这是一道看似非常简单的三位数乘一位数的算式谜，我们做出两个答案还真是费了一点儿力气。今后遇到这种一个数字都不能确定的情况，只有像上面这样先估计大致范围，然后再一个一个地逐步验证和排除，只要坚持不懈，就一定能找到答案。
【错例8】某公司第一季度、第二季度一共盈利245万元，第二季度盈利比第一季度的2倍少25万元。第一季度和第二季度各盈利多少万元？
【思路点拨】因为“第二季度比第一季度的2倍少25万元”，可以假设第一季度的盈利为“1份”。如果第二季度增加25万元，那么正好是第一季度的2倍，也就是“2份”。同时，第一季度、第二季度一共的盈利也增加25万元，变成245＋25＝270（万元），这正好是第一季度的3倍。
（1）如果第二季度增加25万元，一共盈利多少万元？245＋25＝270（万元）
（2）现在盈利一共有多少份？2＋1＝3（份）
（3）第一季度盈利多少万元？270÷3＝90（万元）
（4）第二季度盈利多少万元？90×2－25＝155（万元）
答：该公司第一季度盈利90万元，第二季度盈利155万元。
【指点迷津】因为“第二季度比第一季度的2倍少25万元”，所以，我们可以假设给第二季度增加25万元，使第二季度正好是第一季度的3倍，这样就变成了标准的“和倍问题”。
02
【错例1】
按从小到大的顺序排列下面各质量。
2900克 3千克 990克 3100克 10千克 9999克
【思路点拨】因为几个单名数的单位不统一，因此，必须先统一单位，再进行比较。即：2900克；3千克（3000克）；990克；3100克；10千克（10000克）；9999克。所以，990克＜2900克＜3千克＜3100克＜9999克＜10千克。
**【指点迷津】 **很多同学出现错误，主要还是做题习惯的问题，看了题就直接写答案，不错才怪呢！这种题只有老老实实一步步做。另外，还要注意最后的答案还是要写原来的单名数，不能写转化后的单名数。
【错例2】2个鸡蛋约重100克，多少个鸡蛋约重1千克？
【思路点拨】1千克等于1000克，1000克里有10个100克，那么2×10＝20（个）。
**【指点迷津】 **有些同学先算1个鸡蛋50克，然后1000÷50，还没教过，结果就要弄错了。
【错例3】一盒饼干连盒共重2100克，标签上印有“净含量2千克”。（1）饼干盒重多少克？（2）小明吃去了一半饼干后，剩下的饼干和盒子共重多少克？
【思路点拨】（1）“净含量2千克”是指饼干重2千克，2100克减去2千克（2000克）等于100克，即饼干盒重100克；（2）一半的饼干重1千克（1000克），2100－1000＝1100（克），所以，剩下的饼干和盒子共重1100克。
【指点迷津】（1）有些同学因为不懂“净含量2千克”的意思，可能导致对题意的误解；（2）题目中的单位又不一样，要灵活地转化，然后再计算。
【错例4】一个杯子装满水后连杯共重860克，倒出一半的水后，连杯共重460克，杯子里原来的水重多少克？这个杯子重多少克？
【思路点拨】倒出一半水，少了860－460＝400（克），因此一半水就是400克，整杯水重400×2＝800（克）；杯子重860－800＝60（克）。
【指点迷津】杯子重和水重放在一起，有些同学就搞不清了，碰到这样的情况，不要乱，多分析、多比较，从正面想想，想不下去，再从反面想想，问题总会解决的。
【错例5】一袋橘子和一袋苹果共重14千克，且这袋苹果比这袋橘子重2千克，这袋苹果和这袋橘子各重多少千克？
【思路点拨】先画出草图，然后观察图示，我们可以将苹果减去2千克，14－2＝12（千克），这时候苹果和橘子就一样重了，12÷2＝6（千克），也就是橘子重6千克，苹果的重量为6＋2＝8（千克）。
也可以将橘子加上2千克，14＋2＝16（千克），这时候橘子和苹果就一样重了，16÷2＝8（千克），也就是苹果重8千克，橘子的重量为8－2＝6（千克）。
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【指点迷津】这是数学上的“和差问题”，只有上面的两种方法。最常见的错误是直接将14÷2，那就错了！
03
【错例1】
有12个边长是1厘米的小正方形。如果拼成一个长方形，那么这个长方形的长最多是多少厘米，这时宽是多少厘米？
【思路点拨】有的同学不加思考，想到什么就写什么，结果一写就错。
【指点迷津】我们应该先考虑12个正方形可以怎么摆，然后确定哪个摆法的长最大，如图所示，共有三种摆法，一看就知道第一种摆法的长最多，为12厘米，这时宽为1厘米。
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【错例2】如图所示，甲、乙两部分相比，周长哪个更长一些？
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【思路点拨】这类题第一次做特别容易错，从表面上看好像是“乙”，其实，那是跟面积搞在一起了。
【指点迷津】仔细观察下图，甲的周长为a＋b＋c，乙的周长也是a＋b＋c，因此，它们的周长相等。
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【错例3】如图所示，这是由5个完全一样的小长方形拼成的一个大长方形，每个小长方形的长是12厘米，求拼成的大长方形的周长。
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【思路点拨】有的同学不善于观察，拿起来笔来就做，容易写成12×4＝48（厘米）。
【指点迷津】注意观察图示，大长方形的一边为12厘米，另一边为一个长加一个宽，宽是多少厘米呢？我们看小长方形的长，从上面看它是一个长，从下面看它是四个宽的和，因此，四个宽等于一个长，一个宽为12÷4＝3（厘米），即大长方形的另一边为12＋3＝15（厘米），所以，大长方形的周长为（15＋12）×2＝54（厘米）。
【错例4】把2个长为10厘米、宽为4厘米的长方形拼在一起，拼成后的图形的周长是多少厘米？
【思路点拨】这种题非常典型，同学们做的时候一定要画图，然后标上相应的数据，否则容易做错。
【指点迷津】如图1所示，这是两个长方形，拼成后的图形有两种情况，如图2、图3所示。图2的周长为（10＋8）×2＝36（厘米），图3的周长为（20＋4）×2＝48（厘米）。
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【错例5】如图1所示，标出的数表示每边的长度（单位：厘米），这个多边形的周长是多少厘米？
【思路点拨】图1不是我们所熟悉的长方形或正方形，要求周长，应该把所有的边长都加起来，但是有两条边的长度没有，于是有的同学就会去猜，结果就猜错了。
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【指点迷津】这类题不可能把每条边都加起来求周长，这里我们可以平移，如图2所示，把它“变”成一个长方形，如图3所示。这个长方形的长是10厘米，宽是7厘米，因此周长是（10＋7）×2＝17×2＝34（厘米）。
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【错例6】一个长方形的长是20厘米，从这个长方形中剪去一个最大的正方形后，剩下长方形的周长是多少厘米？
【思路点拨】这道题稍有难度，很多学生可能连题意都没看明白，出现的错误也会五花八门。
【指点迷津】在不理解题意的情况下，我们还是要画画图，如图1所示，剪去最大的正方形后如图2所示，剩下小长方形的周长是a＋b＋e＋e，而a、b、c、d都是正方形的边长，因此a＋b＝c＋d，即小长方形的周长是c＋d＋e＋e，所以，小正方形的周长为原来长方形的两条长，20×2＝40（厘米）。
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图1 图2
04
【易错题1】用竖式计算：
46÷2 85÷5 378÷2 258÷6 619÷6 963÷8
【错因分析】计算两、三位数除以一位数的除法，一定要理解算理，多练习。不少小朋友刚学习时不熟悉计算的步骤和算理，很容易算错，格式也会写错。
【思路点睛】我们用竖式计算这六种类型的除法。
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【易错题2】用竖式计算并验算：591÷8
46÷2 85÷5 378÷2 258÷6 619÷6 963÷8
【错因分析】在运用“除数×商＋余数＝被除数”进行验算时，一定要注意：不要把验算的答案写在横式的后面，也不要忘记横式的后面要写上商和余数。
【思路点睛】我们先列竖式计算，如图1所示；然后写上“验算”，用商乘除数，再加上余数，如图2所示；最后，在横式591÷8的后面商和余数，即591÷8＝73……7。
【易错题3】计算：400÷2÷4
【错因分析】一个数连续除以两个数等于这个数除以两个除数的积，即400÷2÷4＝400÷（2×4），一定要注意400÷2÷4≠400÷2×4，一直有同学会弄错的。
【思路点睛】
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【易错题4】计算：820÷4
【错因分析】像820÷4这样的口算题很容易算错，小朋友经常忘记商中间的“0”，那样就等于25了，或者先等于25，然后发现个位没有数字，便加上一个“0”，等于250，这两种结果都是错的。
【思路点睛】我们可以这样想，百位的8除以4，在百位上商2；十位的2除以4不够，那么商的十位就添0占位；再把个位的0移下来，这时是20除以4，在个位上商5，所以，最后的结果是205。
【易错题5】估算下列算式的结果是几十多还是几百多。
（1）51÷2 （2）786÷3 （3）235÷4
【错因分析】估算一直是学生学习的难点，很多学生不懂估算是怎么回事，于是就出现瞎估算的情况，下面教你一招。
【思路点睛】（1）51÷2，被除数十位的5除以2商2，“2”商在十位上，所以结果是二十多。
（2）786÷3，被除数百位的7除以3商2，“2”商在百位上，所以结果是二百多。
（3）235÷4，被除数十位的2除以4不够，“23”除以4商5，“5”商在十位上，所以结果是五十多。
【易错题6】6□5÷6的商的中间有0，□里可以填（ ）；6□5÷6的商的末尾有0，□里可以填（ ）。
【错因分析】解决这类问题的时候要多动动笔，写写画画，肯定有很多好处。其实，在我们很难解决一个问题时，很大一部分原因是小朋友自己不动笔、不思考，看到题目就想着答案从天上掉下来，这怎么可能呢？我们所碰到的很多难题都可以通过画图、举例子等方法来解决。
【思路点睛】不妨列出竖式，这样可以看得很清楚。如图1所示，要使商的中间为“0”，□内的数字除以6肯定不够商1，也就是比除数“6”小，所以，□内可以填0、1、2、3、4、5；同样道理，要使商的末尾是“0”，个位的“5”除以“6”明显不够，因此，十位一定没有余数，这时候只有两种情况，第一种可能是十位上本身就是“0”， 如图2所示，此时商的十位上是“0”，个位上也是“0”。第二种可能是被除数的十位上数字除以6，正好除，没有余数，如图3所示，此时个位上也商“0”。（商的十位上也只能是“1”） 所以，第二题□内可以填0或者6。
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【易错题7】365÷5，除数不变，要使商增加1，被除数要增加（ ）；要使商减少2，被除数应该是（ ）。
【错因分析】有的同学不明白其中的关系，第一次做这样的题会感觉无法下手。
【思路点睛】我们只要按部就班地“做”就可以了。365除以5的商是73，要使商增加“1”，即73＋1＝74，此时被除数为74×5＝370，增加了370－365＝5。同样道理，要使商减少“2”，即73－2＝71，这时被除数为71×5＝355。
当然，我们还可以从平均分的角度想：把365平均分成5份，商表示每一份分得的结果。每一份分得的结果都要增加1，那么5份就要增加5个1，也就是被除数要增加5；同样的道理，商要减少2，被除数就要减少5×2，即365－5×2＝355。小朋友，这样说你能明白吗？选择你喜欢的方法解决类似的问题。
【易错题8】2只燕子5天吃害虫600只，1只燕子5天吃害虫（ ）只，2只燕子1天吃害虫（ ）只。
【错因分析】很多小朋友做的时候会错得很厉害，可能是大家没见过类似的题型，也可能是把简单的问题想复杂了。
【思路点睛】方法一：我们先求出每只燕子每天吃害虫多少只。
600÷2÷5＝60（只）
那么，一只燕子5天能吃多少只害虫呢？
60×5＝300（只）
2只燕子1天能吃害虫多少只？
60×2＝120（只）
这样分析解答，问题便轻松地解决了。
方法二：当然，还有更简单的方法。2只燕子5天吃害虫600只，1只燕子5天吃害虫600÷2＝300（只），2只燕子1天吃害虫600÷5＝120（只）。
【易错题9】实验小学三（1）班班长苏一涵准备用班费购买一些活动用品。
跳绳 毽子 排球
每根6元 每个4元 每个20元
现在，体育用品正在搞促销，所有器材全部按半价出售。
（1）如果苏一涵买同一种体育器材，花掉130元，他买的是什么？
（2）如果苏一涵一共带了200元，全部用完，请你为他设计一种买法。
【错因分析】首先，小朋友要理解“半价”的意思，“半价”就是按原价的一半来卖；其次，苏一涵带去的130元或200元都是花完的，没有剩余。明白这两点，这道题做起来应该没有什么问题了。
【思路点睛】先求每种活动用品的半价。
跳绳：6÷2＝3（元）；
毽子：4÷2＝2（元）；
排球：20÷2＝10（元）。
（1）130÷3＝43（根）……1（元）
130÷2＝65（个）
130÷10＝13（个）
所以，这种体育器材可能全是毽子，也可能全是跳绳。
（2）答案不唯一。但我们一般考虑的时候要把所有的器材都买一些，下面就是一种方案。
10×10＝100（元）
3×20＝60（元）
2×20＝40（元）
100＋60＋40＝200（元）
所以，可以买10个排球，20根跳绳，20个毽子。
【易错题10】在□内填上合适的数字，使等式成立。
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【错因分析】有的小朋友不善于填写算式谜，经常出现前后不相符或者自相矛盾的情况，其实，填写算式谜，就是一个“侦探破案”的过程，一步一步，逐渐拨开“迷雾”，答案就在眼前。
【思路点睛】（1）注意观察，首先，商的百位一定是1，再看倒数第三行的35，可以知道商的个位是7，填出所有能够确定的数字，最后不难发现商的十位上是5。如图1所示。
（2）观察后可以确定被除数的百位和十位是37，再看竖式的最后，确定被除数的个位是8以及商的个位是7，接下来就方便了。如图2所示。
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05
【易错题1】48个同学排成一行，报数后15号至32号离开了队伍，队伍里还有多少人？
【思路点拨】48个同学排成一行，报数后15号至32号离开了队伍，那么我们要知道15号至32号里一共有多少人，32－15＝17（人），17＋1＝18（人），因此，队伍里还剩48－18＝30（人）。
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【指点迷津】我们用32减15时，其实15号那个同学也被减去了，因此要加上1，即离开队伍的有18人。
【易错题2】小红做一道加法题时，把个位上的3看成了8，百位上的9看成了6，结果是249。那么，这道题正确的结果是多少？
【思路点拨】首先要弄清这道题错在哪里，差了多少。比如，个位上的3看成8就多算了5，把百位上的9看成6就少算了300，一多一少，实际上就是少算了300－5＝295。最后，将错误的结果249加上少的295，就是正确的结果544。
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【指点迷津】遇上这样的题，我们不需要知道原来的加数是多少，我们只需要知道原来的加数在看错的情况下变化了多少。如果算多了，那么就把多出的部分减去；如果算少了，就把少的部分加上去就行了。
【易错题3】小东说：“我先看了这本书的一半，又看了剩下的一半，这时还有98页。”这本书有多少页？
【思路点拨】问题中说又看了剩下的一半，这时还有98页，说明这98也就是剩下的一半，也是小东第二次看的页数，那么这本书的一半就是2个98页，全书就是4个98页，98×2×2＝392（页）。
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【指点迷津】在处理这样的数学问题时，我们可以采用倒推的方法，根据结果一半的一半是98，推导出第一次看完后还剩下的是多少，再进一步推导出全书是多少页。当然，我们还可以画画线段图，帮助理解，这样的话就比较形象。
【易错题4】一桶柴油连桶称重120 千克，用去一半柴油后，连桶称还重65千克。这桶里有多少千克柴油？空桶重多少？
【思路点拨】120千克是连桶称的，用去一半，用去的只是油。将120－65得到的是一半的油重55千克，那么油的总重就是55×2＝110（千克），空桶的重120－110＝10（千克）。
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【指点迷津】这种问题应从反面考虑，因为桶的质量在整个过程中不会有所变化，属于不变量，变化的仅仅是油的量。
【易错题5】陈叔叔买了一些每千克50元的茶叶和每千克80元的茶叶，一共用去710元，这两种茶叶各买了多少千克？（这两种茶叶都买了整千克数）
【思路点拨】这两种茶叶都买了整千克数，因此，80元1千克的茶叶最多有8千克，接下来我们可以列表，从8千克列到1千克，看看什么时候50元1千克的茶叶是整数千克，那就对了。见下表
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【指点迷津】像这种问题只有通过有序的列举，才能找出合适的答案，千万不要胡乱猜测。所以，每千克50元的茶叶买了3千克和每千克80元的茶叶买了7千克；或每千克50元的茶叶买了11千克和每千克80元的茶叶买了2千克。
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