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随处可见的Chi Square
1、女性心肌梗死与吸烟关系的病例对照研究
某研究者实施了一项关于女性心肌梗死与吸烟关系的病例对照研究，研究者调查了240 名心肌梗死患者和480 名非心肌梗死患者，并调查她们的吸烟情况（对吸烟有明确定义）。最终调查的结果如下表所示，研究者想了解心肌梗死患者与非心肌梗死患者的吸烟比例是否有差异，或者说吸烟与心肌梗死是否有关联。
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对于上表的研究目的，有两种方式可以考虑：
第一、采用Z检验，比较两组的吸烟比例，即比较48.32%和20.87%之差是否有统计学意义。这种方式类似于t检验，通过计算两组比例的差值及其标准误，用差值除以标准误便得到Z值，然后根据正态分布做出推断即可。
第二、采用X2检验，不是比较两组比例，而是表中的实际频数和理论频数的差异做出推断。
2、X2检验的思想
再强调下，X2检验强调的是两组比较。
（1）首先做出假定（无效假设），认为心肌梗死与吸烟无关，或者说心肌梗死患者与非心肌梗死患者吸烟比例是相等的。
（2）由于所有人的吸烟比例为240/720=33.33%，如果无效假设成立（心肌梗死与吸烟无关），那么心肌梗死患者和非心肌梗死患者的吸烟比例应该是一致的，都是33.33%。注意啦，这里比较的是两组，即心肌梗死和非心肌梗死。从而得出心肌梗死患者吸烟例数109人，而非心肌梗死患者中吸烟的例数位131人。
（3）这里的109 人和131 人是在无效假设成立的前提下理论上应该出现的例数，因此称为理论频数(Theoretical Frequency) 。
（4）实际上，心肌梗死患者和非心肌梗死患者中的吸烟例数并不是109 人和131 人，而是158 人和82 人。这里的158 人和82 人是实际调查数据中出现的例数，因此称为实际频数(Actual Frequency)。
3、理论频数和实际频数并不相等
造成这种差异的原因至少有两个：
（1）该研究是抽样调查，即使无效假设真的成立，由于抽样误差的存在，两组的吸烟人数也不大可能正好是109 人和131人，总会有一定差异。
(2) 理论频数是在无效假设（假定两组人群的吸烟比例相等）成立的条件下计算出来的。如果这一假定是错误的，那么实际频数与理论频数有差异就不足为奇了。
4、无效假设错误 or 抽样误差？
这时候，我们的X2检验出场了。
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不难看出， f 值反映了理论频数和实际频数的差异大小。理论频数和实际频数差别越大（分子越大），X2值越大；反之，X2值越小。
5、X2的判断方式
（1）当无效假设成立时，理论频数和实际频数应该相等，此时X2值为0 。如果无效假设成立，只是由于抽样误差造成理论频数和实际频数不相等，则二者差别
应该很小，X2值也应该很小。如果X2值太大，则无法用抽样误差来解释，只能认为无效假设可能不成立，即两组人群的吸烟比例不同（或心肌梗死与吸烟有关）。
（2）X2值多大才算差别过大呢？
由于这个公式服从X2分布，因此可根据X2分布来确定。X2分布的特征与自由度有关，其自由度为（行数-1）X（列数-1），对于四表格，则自由度为1.
（3）对于自由度为1的X2分布，当X2值大于3.84时，右侧面积小于0.05,可以认为是小概率事件，即理论频数和实际频数不大可能是由于抽样误差造成，从而拒绝无效假设，认为两组比例可能确实有差异。
6、计算过程
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SAS 软件给出的X2检验结果：
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由于X2值远远大于3.84, 所以可以认为有足够的证据拒绝无效假设，认为心肌梗死和吸烟是有关联的，或者说，心肌梗死患者和非心肌梗死患者的吸烟比例是有差异的。
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