线性代数之——向量空间

作者: seniusen | 来源:发表于2018-11-16 13:00 被阅读23次

线性代数之——向量空间
线性代数（待续）
线性代数的本质（笔记1）
如何生动有趣的入门线性代数
线性代数（二）列空间和零空间。
矩阵分析 (一) 线性空间和线性变换
人工智能学习笔记-Day12
线性代数启示录(一)
2022-10-31 通过lookAt矩阵的推导理解坐标
人工智能数学知识

1. 向量空间和子空间

向量空间 $\boldsymbol R^n$ 由所有的 $n$ 维向量 $v$ 组成，向量中的每个元素都是实数。

向量空间 $\boldsymbol R^2$ 可以用 $xy$ 平面来表示，其中的每个向量有两个元素，它们定义了平面上一个点的坐标。

在一个向量空间中，如果我们将任意向量相加或者乘以一个标量，也就是任意向量的线性组合，它们的结果仍然在这个向量空间中。

三维空间中过原点的一个平面是一个向量空间，这个向量空间和 $\boldsymbol R^2$ 很像，但其中的每个向量都有三个元素。如果我们对这个平面中的两个向量相加，那结果仍然在这个平面中。如果我们对其中的一个向量乘以一个常数，结果也仍然在这个平面中。这个平面位于 $\boldsymbol R^3$ 向量空间里，称为 $\boldsymbol R^3$ 的子空间。

一个向量空间的子空间是由一系列包含零向量的向量组成的，并且满足：如果是 $\boldsymbol v$ 和 $\boldsymbol w$ 是子空间的两个向量并且 $c$ 是任意标量，那么有 (1) $\boldsymbol v + \boldsymbol w$ 在子空间中， (2) $c \boldsymbol v$ 在子空间中。

也就是说，所有向量的线性组合都仍然在这个子空间中。

$\boldsymbol R^3$ 的所有可能子空间有：

$L$ 所有过 (0, 0, 0) 的直线
$P$ 所有过 (0, 0, 0) 的平面
$Z$ 只有零向量 (0, 0, 0)
$\boldsymbol R^3$ 整个空间

一个最重要的子空间是和矩阵 $A$ 紧密联系的。当我们求解 $Ax=b$ 时， $Ax$ 是对 $A$ 的列的线性组合。为了得到 $b$ ，我们用任何可能的 $x$ 来求取 $A$ 的列的所有可能的线性组合，这产生了一个 $A$ 的列空间 $C(A)$ 。 $C(A)$ 不仅仅包含 $A$ 的所有列向量，还包括他们的所有线性组合。

因此，当我们求解 $Ax=b$ 时，如果 $b$ 存在于 $A$ 的列空间中的话，我们就可以找到一组系数，使得它们对 $A$ 的列的线性组合就是 $b$ ，否则，方程就无解。

2. $A$ 的零空间

矩阵 $A$ 的零空间包含所有 $Ax=\boldsymbol0$ 的解，这些向量位于 $\boldsymbol R^n$ 中，表示为 $N(A)$ 。

假设 $x$ 和 $y$ 位于矩阵 $A$ 的零空间中，也就是 $Ax=0$ 、 $Ay=0$ ，那就有 $A(x+y)=0$ 、 $A(cx)=0$ ，即它们相加或者乘以一个标量后仍然在零空间中，因此零空间是一个子空间。

零空间是所有特解的线性组合。

平面 $x+2y+3z=0$ 可以表示为

$\begin{bmatrix} 1&2&3 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x\\y\\z \end{bmatrix} = 0$

上述方程的两个特解分别为

$s_1 = \begin{bmatrix} -2\\1\\0 \end{bmatrix}，s_2=\begin{bmatrix} -3\\0\\1 \end{bmatrix}$

向量 $s_1$ 和 $s_2$ 位于平面 $x+2y+3z=0$ 中，这个平面就是矩阵 $A=\begin{bmatrix} 1&2&3 \end{bmatrix}$ 的零空间，这个平面上的所有向量都是 $s_1$ 和 $s_2$ 的线性组合。

注意到，上述特解的最后两个元素分别为 0 和 1，这些元素是自由的并且是我们特殊选择的。因为矩阵 $A=\begin{bmatrix} 1&2&3 \end{bmatrix}$ 的第一列包含一个主元，因此特解的第一个元素是不自由的，自由的元素就对应着该列没有主元。

3. 消元法求解 $Ax=0$

这时候，矩阵 $A$ 是矩形的，我们求解有 $n$ 个未知数的 $m$ 个方程。

$A = \begin{bmatrix} 1&1&2&3\\2&2&8&10\\3&3&10&13 \end{bmatrix}$

第一个主元是 1，然后我们需要将主元下面的 2 和 3 变成 0。

$A \to \begin{bmatrix} 1&1&2&3\\ 0&\boxed0&4&4\\0&0&4&4 \end{bmatrix}$

这时候，第二列主元的位置为 0，并且其下面的位置也为 0，因此我们也无法用行交换来得到一个主元。

这意味着我们遇到了问题，但我们不应该停止，我们继续看第三列。我们得到了第二个主元 4，然后继续向下消元得到下三角矩阵 $U$ 。

$U = \begin{bmatrix} \boxed1&1&2&3\\ 0&0&\boxed4&4\\0&0&0&0 \end{bmatrix}$

由于第 1 列和第 3 列包含主元，因此主变量就是 $x_1$ 和 $x_3$ ，而 $x_2$ 和 $x_4$ 是自由变量。

这时候，我们分别将两个自由变量设为 0 和 1，就可以得到方程的解为

针对每个自由变量都有一个与之对应的特解，所有特解的线性组合就是零空间 $N(A)$ 。如果没有一个变量是自由的，这就意味着方程组只有一个零向量解。

若是 $n>m$ ，即列数大于行数，那肯定至少有一个变量是自由的，因为每一行最多只有一个主元，这也就意味着方程组有至少一个特解，这个解是非零的。

对上面的下三角矩阵 $U$ 继续进行消元，第二行除以 4，然后第一行减去第二行的 2 倍，我们可以得到简化行阶梯形式 $R$

$R = \begin{bmatrix} \boldsymbol1&1&\boldsymbol0&1\\ \boldsymbol0&0&\boldsymbol1&1\\0&0&0&0 \end{bmatrix}$

这时候，特解就可以很容易地从 $R$ 中读出来，第一个特解的 -1 和 0 就是 $R$ 中第二列的元素 1 和 0 取负号，第二个特解的 -1 和 1 就是 $R$ 中第四列的元素 1 和 1 取负号。

另外，在 $R$ 的左边乘以任意可逆的矩阵，不会改变其零空间。

获取更多精彩，请关注「seniusen」!

线性代数之——向量空间
1. 向量空间和子空间向量空间由所有的维向量组成，向量中的每个元素都是实数。向量空间可以用 ...
线性代数（待续）
一、概述线性代数主要包含向量、向量空间（或称线性空间）以及向量的线性变换和有限维的线性方程组。 1.1 向量标...
线性代数的本质（笔记1）
本文来自blibli (线性代数的本质) 1. 向量究竟是什么 1.1向量(Vector)：物理领域，向量是空间...
如何生动有趣的入门线性代数
原文地址如何生动有趣的入门线性代数向量点乘矩阵乘向量向量乘矩阵矩阵乘矩阵矩阵的静态信息向量空间子空...
线性代数（二）列空间和零空间。
前记：学习Gilbert Strang线性代数3.2列空间与零空间。 0 预备知识向量空间（空间）：对空间内的任...
矩阵分析 (一) 线性空间和线性变换
我们曾在线性代数里学过向量空间，它是由向量做成的集合。在这个集合里向量可以相加，向量可以乘以一个倍数，由此我们...
人工智能学习笔记-Day12
线性代数复习线性空间线性空间的定义一定要有向量和数域，因为有数域才能实现8条法则中的向量数乘。线性空间&数域&...
线性代数启示录(一)
线性代数的内容包含向量空间，子空间，内积空间，线性变换，矩阵理论，特征值和特征向量，二次型等等，矩阵论因其广泛应用...
2022-10-31 通过lookAt矩阵的推导理解坐标
一、坐标变换和基变换基：基的概念源于线性代数，一般指向量空间的基，基就是坐标轴的单位向量坐标:在线性代数中，坐标...
人工智能数学知识
1 线性代数向量向量空间；矩阵线性变换特征值特征向量；奇异值奇异值分解 2 概率论与统计随机事件...

线性代数之——向量空间

1. 向量空间和子空间

2. $A$ 的零空间

3. 消元法求解 $Ax=0$

相关文章