第二章 同余
同余式与同余类
模 同余
设 是非零整数, 和 是整数. 如 ,则称 和 模 同余 (或 模同余于 ),记作
如果 ,则称 和 模 不同余,记作
(1)式称为(模 的) 同余式.
模 的同余类
设 是一个固定的正整数. 由于“模 同余” 是整数集上的一个等价关系,由此可将整数按模 是否同余分为若干个两两不相交的类,使得同一个类中的任意两个数模 同余,而不同类中的两个数模 不同余;每一个正阳的类称为 模 的同余类. 我们将整数 所属的模 的同余类记作 ,在不引起混淆时可简记为 ,它由所有模 同余于 的整数组成,即
称为它的一个代表元. 易知,当 时,有 ;否则 与 不相交(即没有公共元素)
由带余除法,任一整数,比与 中的一个模 同余,而 彼此模 不同余. 因此,模 恰有 个不同的同余类,它们是 . 我们用 表示这个 个类的集合. (一个类看作一个元素)
同余类
如果 ,则有同余类 中每个整数也均与 互素,这样的同余类称为模 的缩同余类,换句话说, 是(模 ) 缩同余类指的是 .
欧拉函数
我们用 表示模 的缩同余类组成的集合,其元素个数记作 ,称为欧拉函数,这是初等数论中一个重要的函数. 显然, ,而对 即为 中与 互素的数的个数.
例如,若 是素数,则模 共有 个缩同余类:,从而
完全剩余系
个整数 称为模 的完全剩余系,简称为模 的完系,是指 彼此模 不同余. 数 则称为 模 的最小非负完系.
个整数 称为 模 的缩剩余系,简称为缩系,是指它们彼此模 不同余,且均与 互素. 不超过 且与 互素的 个正整数则叫作模 的最小正缩系
于是, 为模 的完系,等价于说 恰好是模 的全部 个同余类;而 是模 的缩系,则等价于说 恰好是模 的全部 个缩同余类,因此,任意两个完(缩)系中的数,将其中一个的顺序适当调整,必然两两模 同余.
模 的逆
如 ,则存在 使
我们将这样的 称为 对模 的逆,记作 或 ,他们形成模 的一个同余类(从而在模 的意义下唯一).特别地,有一个 满足
定理
定理一
同余关系是等价关系,即有
(i) (自返性)
(ii) (对称性) 如果 ,则
(iii) (传递性) 如果 ,则
定理二
如果 ,则
(i)
(ii) .
定理三
设 是 元整数系数多项式. 如果 ,则
定理四
若
则 . 特别地,当 时,我们有
定理五
(i) 如果 ,则
(ii) 如果 ,则 . 反之亦然
(iii) 如果 ,则 ,反之亦然
定理六
设 是任意整数.
(i) 如果 是模 的完系,则 也是模 的完系;
(ii) 如果 是模 的缩系,则 也是模 xax\equiv b\pmod{m}xm$ 的一个同余类
定理七
设 ,则
(i) ;
(ii) 的充分必要条件是
(iii) 如果 是模 的任一缩系,则它们的逆 也是模 的一个缩系.
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