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同余式与同余类

同余式与同余类

作者: 洛玖言 | 来源:发表于2019-10-12 07:20 被阅读0次

    第二章 同余

    同余式与同余类

    m 同余

    m 是非零整数,ab 是整数. 如 m|(a-b) ,则称 ab m 同余 (或 a 模同余于 b\,),记作
    a\equiv b\pmod{m}\tag{1}

    如果 m\not|(a-b),则称 ab m 不同余,记作
    a\not\equiv b\pmod{m}
    (1)式称为(模 m 的) 同余式.


    m 的同余类

    m 是一个固定的正整数. 由于“模 m 同余” 是整数集上的一个等价关系,由此可将整数按模 m 是否同余分为若干个两两不相交的类,使得同一个类中的任意两个数模 m 同余,而不同类中的两个数模 m 不同余;每一个正阳的类称为 m 的同余类. 我们将整数 a 所属的模 m 的同余类记作 a\pmod{m},在不引起混淆时可简记为 \bar{a},它由所有模 m 同余于 a 的整数组成,即
    \bar{a}=\{n|n\,\in\,\mathbb{Z},\,n\equiv a\pmod{m}\},
    a 称为它的一个代表元. 易知,当 a\equiv b\pmod{m} 时,有 \bar{a}=\bar{b};否则 \bar{a}\bar{b} 不相交(即没有公共元素)

    由带余除法,任一整数,比与 0,1,\cdots,m-1 中的一个模 m 同余,而 0,1,\cdots,m-1 彼此模 m 不同余. 因此,模 m 恰有 m 个不同的同余类,它们是 \bar{0},\bar{1},\cdots,\overline{m-1}. 我们用 \mathbf{Z}_m 表示这个 m 个类的集合. (一个类看作一个元素)


    同余类

    如果 (a,m)=1,则有同余类 \bar{a} 中每个整数也均与 m 互素,这样的同余类称为模 m缩同余类,换句话说, \bar{a} 是(模 m) 缩同余类指的是 (a,m)=1.

    欧拉函数

    我们用 \mathbf{Z}_m^* 表示模 m 的缩同余类组成的集合,其元素个数记作 \varphi(m),称为欧拉函数,这是初等数论中一个重要的函数. 显然, \varphi(1)=1,而对 m>1,\,\varphi(m)\;\;即为 1,2,\cdots,m-1 中与 m 互素的数的个数.

    例如,若 p 是素数,则模 p 共有 p-1 个缩同余类:\bar{1},\bar{2},\cdots,\overline{p-1},从而 \varphi(p)=p-1

    完全剩余系

    m 个整数 c_1,\cdots,c_m 称为m 的完全剩余系,简称为模 m完系,是指 c_1,\cdots,c_m 彼此模 m 不同余. 数 0,1,\cdots,m-1 则称为 模 m最小非负完系.

    \varphi(m) 个整数 r_1,r_2,\cdots,r_{\varphi(m)} 称为 m 的缩剩余系,简称为缩系,是指它们彼此模 m 不同余,且均与 m 互素. 不超过 m 且与 m 互素的 \varphi(m) 个正整数则叫作模 m最小正缩系

    于是,c_1,\cdots,c_{m} 为模 m 的完系,等价于说 \overline{c_1},\cdots,\overline{c_m} 恰好是模 m 的全部 m 个同余类;而 r_1,\cdots,r_{\varphi(m)} 是模 m 的缩系,则等价于说 \overline{r_1},\cdots,\overline{r_{\varphi(m)}} 恰好是模 m 的全部 \varphi(m) 个缩同余类,因此,任意两个完(缩)系中的数,将其中一个的顺序适当调整,必然两两模 m 同余.


    m 的逆

    (a,m)=1,则存在 x 使
    ax\equiv1\pmod{m}.
    我们将这样的 x 称为 am 的逆,记作 a^{-1}\pmod{m}a^{-1},他们形成模 m 的一个同余类(从而在模 m 的意义下唯一).特别地,有一个 a^{-1} 满足 1\leqslant a^{-1}<m


    定理

    定理一

    同余关系是等价关系,即有
    (i) (自返性) a\equiv a\pmod{m}
    (ii) (对称性) 如果 a\equiv b\pmod{m},则 b\equiv a\pmod{m}
    (iii) (传递性) 如果 a\equiv b\pmod{m},\,b\equiv c\pmod{m},则 a\equiv c\pmod{m}

    定理二

    如果 a\equiv b\pmod{m},\,c\equiv d\pmod{m},则
    (i) a\pm c\equiv b\pm d\pmod{m}
    (ii) ac\equiv bd\pmod{m}.

    定理三

    F(x_1,\cdots,x_n)n 元整数系数多项式. 如果 a_i\equiv b_i\pmod{m}\;(1\leqslant i\leqslant n),则
    F(a_1,\cdots,a_n)\equiv F(b_1,\cdots,b_n)\pmod{m}

    定理四


    ac\equiv bc\pmod{m}.
    a\equiv b \pmod{\dfrac{m}{(c,m)}}. 特别地,当 (c,m)=1 时,我们有
    a\equiv b\pmod{m}.

    定理五

    (i) 如果 a\equiv b \pmod{m},\;d|m ,则 a\equiv b\pmod{d}
    (ii) 如果 a\equiv b\pmod{m},\;d\not =0,则 da\equiv db\pmod{dm}. 反之亦然
    (iii) 如果 a\equiv b\pmod{m_i}\;(q\leqslant i\leqslant n),则 a\equiv b\pmod{[m_1,\cdots,m_n]},反之亦然

    定理六

    (a,m)=1,\, b 是任意整数.
    (i) 如果 a_1,\cdots,c_m 是模 m 的完系,则 ac_1+b,\cdots,ac_m+b 也是模 m 的完系;
    (ii) 如果 r_1,\cdots,r_{\varphi(m)} 是模 m 的缩系,则 ar_1,\cdots,ar_{\varphi(m)} 也是模 m 的缩系; (iii) 存在x使ax\equiv b\pmod{m}成立,所有这样的x形成模m$ 的一个同余类

    定理七

    (a,m)=(b,m)=1,则
    (i) (ab)^{-1}\equiv a^{-1}\cdot b^{-1}\pmod{m};
    (ii) a^{-1}\equiv b^{-1}\pmod{m} 的充分必要条件是 a\equiv b\pmod{m}
    (iii) 如果 r_1,\cdots,r_{\varphi(m)} 是模 m 的任一缩系,则它们的逆 r_!^{-1},\cdots,r_{\varphi(m)}^{-1} 也是模 m 的一个缩系.

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