中国剩余定理

中国剩余定理

作者: 摇摆苏丹 | 来源:发表于2021-01-28 22:38 被阅读0次

表述

设 $m,n$ 为互素的整数，b与c为任意整数。那么同余式组：
$\begin{array}{c} x \equiv b \ (mod \ m) \\ x \equiv c \ (mod \ n) \end{array}$
恰好有一个解 $0 \leq x \lt mn$ 。

证明

$x \equiv b \ (mod \ m)$ 等价于 $x = b+my$ ，带入 $x \equiv c \ (mod \ n)$ 得 $my=c-b \ (mod \ n)$ 。根据线性同余式定理，上式的 $y$ 有唯一解 $0 \leq y_1 \lt n$ 。又 $x = b+my$ ，得到 $0 \leq x_1 \lt mn$ 。因为 $y_1$ 是唯一的，所以 $x_1$ 也是唯一的，定理得证。

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