关于三重积分的一点思考

记录一点利用直角坐标计算三重积分的先一后二和先二后一方法的理解。

1. 先一后二法

同济高数第七版，图10-30
我们基于被积函数为1，同时假设积分区域就是图中平面与x，y，z轴围成的空间进行理解。
在先一后二法中，我们需要将积分区域投影到xOy平面，即得到投影区域：

对投影区域的任一点（x,y），过此点作平行于z轴的直线，直线与积分区域有上下两个交点z2(x,y)和z1(x,y)。在我们的先一后二法中，先一指的就是在z从z1到z2上求积分。由于此处被积函数为1，所以积分值就是z1到z2的高度差。后二指的就是对投影区域进行一个二重积分。
我将上述过程类比为求一非均匀平板的质量或是求一图像的灰度值总和来加以理解。
先一原本为求出投影区域任一点（x,y）从z1到z2的积分值，可以类比理解为：先求出每一点的质量/灰度。后二理解为投影区域内上述积分值的总和，类比理解为对整个的质量/灰度值进行累加。
再简单一点，就是理解为一个平面分为了n块小区域，每一块有一个对应的数值。我们先一后二的做法就是先求每一块区域对应的数值，然后将其累加起来。

2. 先二后一法

同济高数第七版，图10-31
先二后一法我个人觉得更加容易理解。我们还是以1作为被积函数，图中椭球体为积分区域。
在先二后一法中，先二其实就是相当于求任一z值对应的截面的面积A(z)。后一即是对A(z)dz这一体积元素进行累加，于是便得到了结果。
另再按照上面的方法进行理解，也可以看作对z从c1到c2这一线段，线段上每一点都有对应的一个值。先二便是求出这个值，后一便是将每个点的值进行累加。